热门试卷

(1) 证明

∵  平面ABEF为正方形            

∴ AF⊥PE

又∵  ∠AFD=90°即AF⊥FD

而FE，FD 平面FECD     且  FE∩FD=F

∴ AF⊥平面EFDC

又AF平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

(II) ∵  二面角D-AF-E的平面角为60°

∴ ∠DFE=60°

     在平在面EFDC内作DO⊥EF 于点O, 则DO⊥平面ABEF.

令AF=4,则DF=2.在△ADF 中， OF=1,OD=

在平面ABEF 内作OA//AF 交AB 于M , 则OM ⊥EF

以O为原点，OM,OE,OD 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则E（0，3，0）,B(4,3,0),C(0,4,  ),D(4,-1,0)

直角坐标系，则E（0，3，0），B（4，3，0），C(0，4，  )，D（4，-1，0）

设平面EBC法向量为则而

∴∴

(II)

设平面BCA法向量为

则   而

∴   ∴

∴

∴  二面角E-BC-A的余弦值为

(I)证明:

∵  平面ABEF为正方形

∴ AFPE

又∵  ∠AFD=90°即AFFD

而FE，FD平面FECD且FEFD=F

∴ AF

又AF

∴ 平面ABEF

（II）过作，垂足为，由（I）知平面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．

由已知，，所以平面．

又平面平面，故，．

由，可得平面，所以为二面角的平面角，

．从而可得．

所以，，，．

设是平面的法向量，则

，即，

所以可取．

设是平面的法向量，则，

同理可取．则．

故二面角的余弦值为．

（Ⅰ）证明：因为,是的中点,所以,．

因为，分别为，的中点，所以．

所以．

因为平面,平面，所以．

又因为在平面内,且与相交,

所以平面．

（Ⅱ）解法一,连接,过作于,

过作于,连接．

由（Ⅰ）知,平面,

所以平面平面．

所以平面,则．

所以平面,则．

故为二面角的平面角(设为)．

设,则由,,有,．

又为的中点，则为的中点，所以．

在，，在中，．

从而,．

所以．

因为为锐角，

所以．

故二面角的余弦值为．

解法二,设．如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合)．

则,．

因为为的中点,所以分别为的中点,

故,

所以,,．

设平面的法向量为，

则 即 故有

从而 取,则,

所以是平面的一个法向量．

设平面的法向量为,

则 即 故有

从而 取,则,

所以是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为,又为锐角，

则

．

故二面角的余弦值为．

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）证明略；

（Ⅲ）．

（Ⅲ）四棱锥的体积为24.