热门试卷

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面，可知，再分析已知由得，这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直

试题解析：（1）证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE

由CE＝2，CD=DE＝得CDE为等腰直角三角形，故CDDE

由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD

试题分析：（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于，平面，因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面和平面的法向量，向量的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．

试题解析：（2）由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（19）图，过点D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝EF＝1，又已知EB＝1，

故FB＝2．

由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．

以C为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0,0,0,），P（0,0,3），A（,0,0）,E（0,2,0），D（1,1,0），

设平面的法向量，

由，，

得.

由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.

从而法向量，的夹角的余弦值为，

故所求二面角A-PD-C的余弦值为.

解：在直角梯形中，，

可得：∽，从而可得：①，

又∵平面，∴，

又，所以有平面，

可得：②，

由①②可得：直线平面；      -----------------------------7分

在直角梯形中，，

可得：∽，从而可得：①，

又∵平面，∴，

又，所以有平面，

可得：②，

由①②可得：直线平面；      -----------------------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，建立如图空间直角坐标系，

由题意知各点坐标如下：

，   -----------------------9分

因此 ，

设平面的法向量为，

平面的法向量为，

由，

可取；           --------11分

由，

可取；  -----------------------13分

于是，

故二面角的平面角的余弦值为． --------------------------------15分

（Ⅰ）连接，在正方形中，，

正方体中，平面，

平面，，平面，

，即；-------------4分

当为中点时，

取、中点分别为、，链接、、，

，且，

四边形为平行四边形，，

平面平面，，

平面，平面，

平面平面．-------------8分

设，，

，

．-------------12分

解：(1)在梯形中，

∵∥，

∴∴

∴∴∵平面平面

平面平面，

∴

∴又 ∴

解：

(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令 (≤≤),则

∴

设为平面的一个法向量，

由得

取则

∵是平面的一个法向量,

∴

∵≤≤,∴当=时，有最大值.

∴的最小值为

（1）∵在直三棱柱中，平面，

又∵平面，∴．

又∵平面，平面，∴．

又∵分别为和的中点，∴，∴．

而平面，平面，且，

∴平面．

又∵平面，∴．

（2）由（1）知平面，平面，从而，如图，以为原点建立空间直角坐标系．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵，∴，

则由，知，∴，

则，，，，，，．

设平面的一个法向量，则

由，得，取，可得．

设平面的一个法向量，则

由，得，取，可得，

∴，

∴二面角平面角的余弦值是．

以为原点，所在直线分别为

轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

,.

,

又因为

所以，平面.

（Ⅱ）设为平面的一个法向量．

由，，

得取，则．

又

设与平面所成的角为，则,

即与平面所成的角的的正弦值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为

设为平面的一个法向量,

由，，，

得取，则．

设与所成角为，则，

所以二面角的正弦值为．

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，由线面垂直去证明线线垂直； 不论点E在何位置，都有BD⊥AE.

证明如下：由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PC.又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置，

都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，建好空间直角坐标系后，求出各点坐标，再求出法向量再算出夹角（亦可用传统法进行求解）。

解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.

∵AD＝AB＝1，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.

∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角（9分）．在Rt△ADE中，  在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝，∴∠DFB＝，  即二面角D－AE－B的大小为.

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，

从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

，

由，取

由，取设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为。