热门试卷

（1）在折起后的图中，取中点，连结、，由题意，为矩形。

∵ 为中点，为中点，

∴，且。

又∵为中点，且，

∴且。

∴四边形为平行四边形。

∴。

又∵平面，平面，

∴平面。

（2）   在折起后的图中，∵，，

∴平面，且即为二面角的平面角。

∴。

∵平面，∴。

又∵为中点，∴在等腰中，有，

∵，∴。

∵平面，平面，∴。

∵，∴。

∵，∴平面。

∵平面，∴平面平面。

解析：

（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，

平面，∴又∵∴，，

∴平面，

（2）以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，，，，

，显然，平面

的法向量，

设平面的法向量为，

由，即，

∴，

∴二面角的大小是。   

（1）解法一：设的中点，联结，，易知在等腰三角形、中，，，故为二面角的平面角。       （2分）

在等腰△中，由及，得。

由平面，得。

在△中，。                            （6分）

故二面角的大小为。

解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，，，。

                        （8分）

于是，。      （2分）

由平面，得平面的一个法向量。

设是平面的一个法向量。

因为，，所以，，

即，，解得，，

取，得。                   （4分）

设与的夹角为，则。                    （6分）

结合图可判别二面角是个锐角，它的大小为。   （8分）

（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为。

该圆锥的体积。                              （12分）

（1）由题意知，底面

由余弦定理有

故有……4分

而,

       …………6分

（2）

由（1）知,

以为轴, 为坐标原点建立坐标系,

则,               …………8分

由题意知, ,由勾股定理得,又,

,故为的一个法向量, .

设的法向量为.

得一个法向量为.

故                    …………12分

（1）解法一：∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD  ∴BC ⊥PA 

又∵BC⊥AB，PA∩AB=A    ∴BC⊥平面PAB

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法二：∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD ∴AD⊥PA  

又∵DA⊥AB，PA∩AB=A  ∴AD⊥平面PAB   

∵BC⊥AB  ∴BC∥AD  ∴BC⊥平面PAB  

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角 

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法三：

∵PA⊥平面ABCD DA⊥AB

∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线

为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)， 

则   

设PC与平面PAB所成角的大小为θ，

则

，即PC与平面PAB所成角的正切值为

（2）证法一：

过点C作CE∥AB交AD于点E，

∵DA⊥AB   ∴DA⊥EC，且AE =BC =1

∵AD =2，∴E为AD的中点，∴EC为AD的垂直平分线，∴CD=AC，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=450

∴∠DAC =∠ADC=450，∴∠DCA=900，即DC⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

证法二：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，

又

即AC⊥DC，

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC，

∴平面PAC⊥平面PCD.

证法三：

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD ∴CD⊥PA

∵DA⊥AB ∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD

所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，

则

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，

则-------------------2分

于是：-------------------4分

因为,所以------------5分

故：-------------------6分

（2）由（1）可知平面的法向量取 -----------------8分

由，则-------------------10分

又设平面的法向量为由

得，取得，即-------------------12分

因为平面平面，所以，得-------------------14分

解析：（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，且

，在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面。                           ………4分

（2）平面底面，，所以平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。。

所以，又由平面，可得，所以平面。            ………8分

（3）平面的法向量为，

，所以，

设平面的法向量为，由，，得，

所以，所以，

注意到，得                                   …………12分

（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，

DD1为z轴建立空间直角坐标系。

不妨设AD =AA1＝1，AB＝2，

则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，

C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)。

因为＝λ，所以，于是(－1，0，－1)。

所以。

故D1EA1D。

（2）因为D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n1＝(0，0，1)。

又，(0，－2，1)。

设平面D1CE的法向量为n2＝(x，y，z)，

则n2·，n2·，

所以向量n2的一个解为。

因为二面角D1—EC—D的大小为，则。

解得±－1。

又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1。

（1）取PA的中点E，连结EM、BE，

∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，

又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，

∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，

∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，

∴MQ∥平面PAB；

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，

∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD，

又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，

∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，

∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，

又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，

∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD，