热门试卷

（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2n=2n，

又，也满足上式，

所以数列{an}的通项公式为。

b1=a1=2，设公差为d，由b1，b3，b11成等比数列，

得（2+2d）2=2×（2+10d），化为d2﹣3d=0。

解得d=0（舍去）d=3，

所以数列{bn}的通项公式为bn=3n﹣1。

（2）由（1）可得Tn=，

∴2Tn=，

两式相减得Tn=，

==。

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

  。

另解：。

又当时，有，       。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又 ，  …②

①-②得：，

解，得 。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

（1）时，，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为

，即。

（2）因为，

所以，当，时，，

。

（3）考虑函数，，，

则，

当时，，单调递减；

当时，；

当时，，单调递增；

所以，当，时，，

当且仅当时，。

所以，

而，

令，则，

两式相减得，

。

所以，，

故。

所以，。

当且仅当时，

。

所以，存在唯一一组实数，，

使得等式成立。

（1）由题意，当时，有，

两式相减得 即.

由，得.

所以对一切正整数n，有，

故，即.

（2）由（1），得，

所以  ①

①两边同乘以，得  ②

①-②，得，

所以，

故.

（3）由（1），得

.

（1）∵an+1=2Sn+1，当n≥2时，an=2Sn-1+1两式相减得：an+1=3an(n≥2)

又a2=2a1+1=3=3a1，∴an+1=3an(n∈N*).

∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n-1.

又b1=b2-d=5-2=3，∴bn= b1+(n-1)d=2n-1.………6′

（2）

令…………………①

则             …②

①-②得：

∴Tn=n×3n>60n，即3n>60，∵33=27，34=81，∴n的最小正整数为4.………12′

（1）解法1：当时，，，

两式相减得，

即，得.

当时，，即.

∴数列是以为首项，公差为的等差数列。

∴.

解法2：由，得，

整理得，，

两边同除以得，.

∴数列是以为首项，公差为的等差数列。

∴.

∴.

当时，.

又适合上式，

∴数列的通项公式为.

（2）解法1：∵，

∴.

∴，①

，②

①②得.

∴.

解法2：∵，

∴.

∴.

由，

两边对取导数得，.

令，得.

∴ .