简单复合函数的导数
共526题

· 简单复合函数的导数

简单复合函数的导数
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题型：简答题

简答题 · 7 分

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）,M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2，

（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

正确答案

见解析

解析

（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以

即

从而的参数方程为（为参数）

（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为.所以.

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，，且在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

（3）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），∴，又，

∴，………………3分

（2）；

∴

由得，

∴或，……………5分

∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点， ………………6分

若，即，当时；当时，函数有极大值点，

若，即时，当时；当时，函数有极大值点，

综上，的取值范围是，…………………8分

（3）当时，设两切线的倾斜角分别为，

则，

∵， ∴均为锐角，………………9分

当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则；当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，则。

由得，，

得，即，

此方程有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形，……11分

由得，，

得，即，

设，，

当时，，∴在单调递增，则在单调递

增，由于，且，所以，则，

即方程在有唯一解，直线能与轴围成一个等腰三角形。

因此，当时，有两处符合题意，所以直线能与轴围成等腰三角形时，值的个数有2个，……………14分

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有，则（）

A在上是减函数

B在上是减函数

C在上是增函数

D在上是减函数

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为

正确答案

解析

由体对角线长，正视图的对角线长，侧视图的对角线长，可得长方体的长宽高分别为，2，1，因此其全面积为.

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知、取值如下表：

从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则

A1.30

B1.45

C1.65

D1.80

正确答案

解析

代入中心点，可知a=1.45.故选B.

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 7 分

已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为。

（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；

（2）求圆上的点到直线的距离的最小值，

正确答案

见解析

解析

（1）由，得，

，即， ………………1分

设 ………………2分

所以直线的直角坐标方程为；

圆的参数方程为参数. ……………3分

（2）设，则点到直线的距离为

，………………5分

当即时，.

圆上的点到直线的距离的最小值为. ………………7分

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于、两点，以为直径的圆与的准线有公共点，若点的纵坐标为，则的值为（）

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

先阅读下面的材料：“求的值时，采用了如下方法：令，则有，两边同时平方，得，解得（负值舍去），”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得函数的零点为________。

正确答案

。

解析

令，则，若，则，…，；反过来，若满足，由于在上单调递增，由反证法可知，必有，综上可知，方程与同解，得（负值舍去）。

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是

正确答案

解析

根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可以得. 对作如下变形：.

由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.

由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是，从而的取值范围是，进一步可以推得的取值范围是.

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数

（1）解不等式；

（2）若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）

当时，由解得：；当时，由得，舍去；

当时，由，解得. 所以原不等式解集为. (5分)

（2）由（1）中分段函数的解析式可知:在区间上单调递减，在区间上单调递增.并且，所以函数的值域为.从而的取值范围是,进而的取值范围是.根据已知关于的方程的解集为空集，所以实数的取值范围是. (10分)

知识点

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