简单复合函数的导数
共526题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知向量，，定义函数f（x）=。

（1）求函数f（x）的最小正周期。

（2）xR时求函数f（x）的最大值及此时的x值。

正确答案

f（x）=-1=2sinx×cosx+2cosx-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

（1）T== ，

（2）f（x）=2sin（2x+），

∴当2x+=+2k （kZ），

即x=+k （kZ）时，f（x）取最大值为2，

∴当x=+k （kZ）时f（x）=2 。

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简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

12. 已知定义的R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）

正确答案

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简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：

（1）在内是单调函数；

（2）在上的值域为，则称区间为函数的“和谐区间”。

下列函数中存在“和谐区间”的是__________.

正确答案

①③④

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题型：单选题

单选题 · 5 分

3．是（）

A最小正周期为2π的偶函数

B最小正周期为2π的奇函数

C最小正周期为π的偶函数

D最小正周期为π的奇函数

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 14 分

18．已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）求证：．

正确答案

（Ⅰ）易证

（Ⅱ）当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减

（Ⅲ）要证，两边取以为底的对数，即只需证明

由（Ⅰ）可知，，分别取，

得到

将上述个不等式相加，得

从而结论成立.

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题型：填空题

填空题 · 5 分

12.已知命题p：mR，且m＋1≤0，命题q：∀xR，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是__________．

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 12 分

22．已知函数

（1）若时，函数在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（2）设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

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简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）

（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象。

正确答案

（1）设小时后蓄水池中的水量为吨，则；

令＝；则，即；

∴当，即时，，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。

（2）依题意，得，解得，，即

，；由，所以每天约有8小时供水紧张。

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题型：简答题

简答题 · 18 分

22．

设函数f（x）=ax+bx+1（a，b为实数），F（x）=

（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）成立，求F（x）表达式。

（2）在（1）的条件下，当x时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围。

（3）设m>0，n<0且m+n>0，a>0且f（x）为偶函数，求证：F（m）+F（n）>0。

正确答案

（1）f（-1）=0 ∴由f（x）0恒成立知△=b-4a=（a+1）-4a=（a-1）0

∴a=1从而f（x）=x+2x+1 ∴F（x）= ，

（2）由（1）可知f（x）=x+2x+1 ∴g（x）=f（x）-kx=x+（2-k）x+1，由于g（x）在上是单调函数，知-或-，得k-2或k6 ，

（3）f（x）是偶函数，∴f（x）=f（x），而a>0∴在上为增函数

对于F（x），当x>0时-x<0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x），当x<0时-x>0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x），

∴F（x）是奇函数且F（x）在上为增函数，

m>0，n<0，由m>-n>0知F（m）>F（-n）∴F（m）>-F（n）

∴F（m）+F（n）>0 。

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简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．设函数f（x）=ax+bx+1（a，b为实数），F（x）=

（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）成立，求F（x）表达式。

（2）在（1）的条件下，当x时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围。

（3）设m>0，n<0且m+n>0，a>0且f（x）为偶函数，求证：F（m）+F（n）>0。

正确答案

（1）f（-1）=0 ∴由f（x）0恒成立

知△=b-4a=（a+1）-4a=（a-1）0

∴a=1从而f（x）=x+2x+1

∴F（x）= ，

（2）由（1）可知f（x）=x+2x+1

∴g（x）=f（x）-kx=x+（2-k）x+1，

由于g（x）在上是单调函数，

知-或-，

得k-2或k6 ，

（3）f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（x），而a>0

∴在上为增函数

对于F（x），

当x>0时-x<0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x），

当x<0时-x>0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x），

∴F（x）是奇函数且F（x）在上为增函数，

m>0，n<0，

由m>-n>0知F（m）>F（-n）

∴F（m）>-F（n）

∴F（m）+F（n）>0 。

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