· 导数与积分

· 简单复合函数的导数

简单复合函数的导数
共526题

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1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12. 已知定义的R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

B

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简单复合函数的导数

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：

（1）在内是单调函数；

（2）在上的值域为，则称区间为函数的“和谐区间”。

下列函数中存在“和谐区间”的是__________.

正确答案

①③④

解析

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简单复合函数的导数

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．是（）

A最小正周期为2π的偶函数

B最小正周期为2π的奇函数

C最小正周期为π的偶函数

D最小正周期为π的奇函数

正确答案

D

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简单复合函数的导数

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

18．已知函数．

（Ⅰ）若，求证：当时，；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）求证：．

正确答案

（Ⅰ）易证

（Ⅱ）当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减

（Ⅲ）要证，两边取以为底的对数，即只需证明

由（Ⅰ）可知，，分别取，

得到

将上述个不等式相加，得

.

从而结论成立.

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简单复合函数的导数

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

22．设函数f（x）=ax+bx+1（a，b为实数），F（x）=

（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）成立，求F（x）表达式。

（2）在（1）的条件下，当x时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围。

（3）设m>0，n<0且m+n>0，a>0且f（x）为偶函数，求证：F（m）+F（n）>0。

正确答案

（1）f（-1）=0 ∴由f（x）0恒成立

知△=b-4a=（a+1）-4a=（a-1）0

∴a=1从而f（x）=x+2x+1

∴F（x）= ，

（2）由（1）可知f（x）=x+2x+1

∴g（x）=f（x）-kx=x+（2-k）x+1，

由于g（x）在上是单调函数，

知-或-，

得k-2或k6 ，

（3）f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（x），而a>0

∴在上为增函数

对于F（x），

当x>0时-x<0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x），

当x<0时-x>0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x），

∴F（x）是奇函数且F（x）在上为增函数，

m>0，n<0，

由m>-n>0知F（m）>F（-n）

∴F（m）>-F（n）

∴F（m）+F（n）>0 。

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