· 导数与积分

· 简单复合函数的导数

简单复合函数的导数
共526题

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1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

设函数（e=2.718 28……是自然对数的底数)。

（1）判断的单调性；

(2)当在(0，+∞)上恒成立时，求a的取值范围；

（3）证明：当(0，+∞)时，。

正确答案

见解析。

解析

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数

（1）当且时，证明：；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：要证，即证，

令则

∴在单调递增，，

，即成立。

（2）解法一：由且可得

令

由（1）知-

函数在单调递增，当时，

。

【解法二：

令，则，

当时，，函数在上是增函数，有，

当时，∵函数在上递增，在上递减，

对，恒成立，只需，即。

当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，

而，不合题意，

综上得对，恒成立，。

【解法三：

由且可得

由于表示两点的连线斜率，

由图象可知在单调递减，

故当时，

即

（3）当时，则，

要证，即证

由（1）可知又

∴

∴ ，

故得证

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简单复合函数的导数

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知函数的最小正周期为，则 _________。

正确答案

解析

略

知识点

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数.

( 1)若直线与函数的图象相切，求实数m的值；

（2）证明曲线与曲线有唯一公共点；

(3)设，比较与的大小，并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆：.

（1）椭圆的短轴端点分别为（如图），直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.

①证明直线与轴交点的位置与无关；

②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；

（2）若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、

两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

正确答案

见解析

解析

（1）①因为,M （m,），且，

直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,

直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,

由得，

由得，

；

据已知，，

直线EF的斜率

直线EF的方程为 ,

令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.

②,,,

,，,

，

整理方程得，即，

又有，，，为所求.

（2）因为直线,且都过点,所以设直线,

直线,

所以圆心到直线的距离为,

所以直线被圆所截的弦；

由,所以

所以

所以

当时等号成立,

此时直线

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