简单复合函数的导数
共526题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则k=_______.

正确答案

2 ；

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（）

正确答案

解析

略

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知全集，集合A=，，则集合=

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数与函数为常数，它们的导函数分别为与

（1）若图象上一点处的切线方程为:,求的值；

（2）对于任意的实数，且均不为，证明：当时，与的图象有公共点；

（3）在（1）的条件下，设是函数的图象上两点，，证明：

正确答案

见解析

解析

(1) ；

(2) ,原题即为

（3）由（1）知，，，

，

同理可得：

综上所述：.

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（）科

D12

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则

（1）函数的最大值是_____；

（2）函数的单调递增区间为________.

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（1）若上的最大值；

（2）证明：对任意的正整数n，不等式都成立；

（3）是否存在实数，使得方程内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，。

（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，，其定义域为（0，+）.

因为，

所以在（0，+）上单调递增，

所以函数不存在极值.

（2）函数的定义域为。

当时，

因为在（0，+）上恒成立，所以在（0，+）上单调递减.

当时，

当时，方程与方程有相同的实根.

①当时，>0，可得，，且

因为时，，所以在上单调递增；

因为时，，所以在上单调递减；

因为时，，所以在上单调递增；

②当时，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上单调递增.

综上，当时，的单调减区间为（0，+）；当时，的单调增区间为与；单调减区间为；当时，的单调增区间为（0，+）.

（3）由存在一个，使得成立，

得，即.

令，等价于“当时，”.

因为，且当时，，

所以在上单调递增，

故，因此.

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求函数的极值；

（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”，试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，

所以。

令，可得或。

则在上的变化情况为：

所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为。

（2）假设函数在上存在“域同区间”，

由（1）知函数在上单调递增。

所以即

也就是方程有两个大于3的相异实根。

设，

则。

令，解得，。

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。

因为，，，

所以函数在区间上只有一个零点。

这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立。

所以函数在上不存在“域同区间”。

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