简单复合函数的导数
共526题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则k=_______.

正确答案

2 ；

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：单选题

单选题 · 5 分

如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（）

正确答案

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（1）若上的最大值；

（2）证明：对任意的正整数n，不等式都成立；

（3）是否存在实数，使得方程内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，。

（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，，其定义域为（0，+）.

因为，

所以在（0，+）上单调递增，

所以函数不存在极值.

（2）函数的定义域为。

当时，

因为在（0，+）上恒成立，所以在（0，+）上单调递减.

当时，

当时，方程与方程有相同的实根.

①当时，>0，可得，，且

因为时，，所以在上单调递增；

因为时，，所以在上单调递减；

因为时，，所以在上单调递增；

②当时，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上单调递增.

综上，当时，的单调减区间为（0，+）；当时，的单调增区间为与；单调减区间为；当时，的单调增区间为（0，+）.

（3）由存在一个，使得成立，

得，即.

令，等价于“当时，”.

因为，且当时，，

所以在上单调递增，

故，因此.

知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）求函数的极值；

（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”，试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，

所以。

令，可得或。

则在上的变化情况为：

所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为。

（2）假设函数在上存在“域同区间”，

由（1）知函数在上单调递增。

所以即

也就是方程有两个大于3的相异实根。

设，

则。

令，解得，。

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。

因为，，，

所以函数在区间上只有一个零点。

这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立。

所以函数在上不存在“域同区间”。

知识点

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