简单复合函数的导数_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数f(x)=xe-x(x∈R)。

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）当x>1时，求证：f(x)>f(2-x)；

（3）若x1≠x2，且f(x2)=f(x2)，求证：x1+x2>2。

正确答案

见解析。

解析

（1）法一；f'(x)=(1-x)e-x

令f'(x)=0，解得x=l

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表

所以f (x)在(-∞，1）内是增函数，在(1，+∞)内是减函数。

函数f (x)在x=l处取得极大值f(l)且

法二：f'(x）=（1-x)e-x

令f(x)>O得x<l，令f'（x）<0得x>l，

∴f(x)的增区间为(-∞，1)，减区间为（1，+∞）

∴f(x)的极大值为

（2）证明：由条件得：f（2-x）=（2-x）ex-2

令F(x)=f(x)-f(2-x)，即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2

于是F’(x)= (x-1)(ex-2-e-x)

当x>l对，x-1>O, x-2>-x，ex-2>e-x，F'(x)>O，

从而函数F(x)在（1，+∞）是增函数。

由x>l得F（x）>F(1)=0

∴F(x)=f(x)-f(2-x)>O即f(x)>f(2-x)，

（3）证明：由(I)知；f(x)的增区间为(-∞,1),减区间为(1,+∞)

∵若x1≠x2,且f(x)=f(x2)

∴x1，x2.不可能同在(-∞，1)或(1，+∞)上

∴x1，x2中的一个在(-∞，1)上，另一个在(1，+∞)上

不妨设x1<l，x2>1

由（2）可知，f(x2)>g(x2)，又g(x2)=f(2-x2)。

所以f(x2)>f(2-x2)，从而f(x1)>f(2-x2)，

因为x2>1，所以2-x2<1.又由(I)可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数·

所以x1>2-x，即xl+x2>2。

知识点

简单复合函数的导数

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为

下列论断正确的是（）

A随着的增大，增大

B随着的增大，减小

C随着的增大，先增大后减小

D随着的增大，先减小后增大

正确答案

A

解析

,设,可知

,可时,当

时, ,故在时单调递增.

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

已知函数；，

（1）当为偶函数时，求的值。

（2）当时，在上是单调递增函数，求的取值范围。

（3）当时，（其中，），若，且函数的图像关于点对称，在处取得最小值，试探讨应该满足的条件。

正确答案

见解析

解析

（1）因为函数为偶函数，所以， 2分

，，

所以，4分

（2）6分

，其中，所以，

8分

由题意可知：，，

所以，10分

（3）

12分

因为，所以与不能同时成立，不妨设，，

所以，其中；

由的图像关于点对称，在处取得最小值，，, ，所以，，①14分

由的图像关于点对称知道，，，，又因为在处取得最小值，

所以，，

所以 ②16分

由①②可知，，。18分

知识点

简单复合函数的导数

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列满足，点在直线上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的值；

（3）对于（2）中的数列，求证：。

正确答案

见解析

解析

（1）∵点在直线上，∴

∴，是以为首项，为公比的等比数列，

∴

（2）∵且，

∴，

∴且；

当时，。

（3）由（2）知

∴

∵时，

∴

，

∴，

即。

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

点在直线上移动，则的最小值是

A8

B6

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（　　）

A

B1

C2

D不确定

正确答案

C

解析

解：设椭圆和双曲线的方程为：

和。

∵，，

∴，，

∵满足，

∴△PF1F2是直角三角形，

∴|PF1|2+|PF2|2=4c2。

即m+a=2c2

则===2

故选C。

知识点

简单复合函数的导数

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：BN；

（2）设为直线与平面所成的角，求的值；

（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP//平面CNB1 ，求。

正确答案

见解析

解析

（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直。 ……………2分

以BA，BC，BB1分别为轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）

∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0

=（4,4,0）·（0,0,4）=0

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N； -----------------4分

（2）设为平面的一个法向量，

则

则 -----------------8分

（3）∵M（2,0,0），设P(0,0,a)为BC上一点,

则, ∵MP//平面CNB1,

∴

又,

∴当PB=1时MP//平面CNB1 -----------------12分

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数。

（1）讨论函数的单调区间；

（2）设，当a＝1时，若对任意的x1，x2∈[1,e]（e是自然对

数的底数），，求实数b的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为，

所以。

①若，，在上单调递增，

②若，当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增。

③若，当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增。

综上：①当时，在上单调递增。

②当时，在上单调递减，在上单调递增。

③当时，在上单调递减，在上单调递增。

（2）当时，。

由（1）知，若，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以。

因为对任意的，都有成立，

问题等价于对于任意，恒成立

即对于任意恒成立，

因为函数的导数在上恒成立，

所以函数在上单调递增，所以，

所以，所以。

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值。

正确答案

见解析

解析

由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=，

所以解得.

知识点

简单复合函数的导数

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

即方程在上有两个不同的解，作出的图象，可见，直线与在时相切才符合，此时，有，又，

知识点

简单复合函数的导数

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