热门试卷

（1）法一；f'(x)=(1-x)e-x

令f'(x)=0，解得x=l

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表

所以f (x)在(-∞，1）内是增函数，在(1，+∞)内是减函数。

函数f (x)在x=l处取得极大值f(l)且

法二：f'(x）=（1-x)e-x

令f(x)>O得x<l，令f'（x）<0得x>l，

∴f(x)的增区间为(-∞，1)，减区间为（1，+∞）

∴f(x)的极大值为

（2）证明：由条件得：f（2-x）=（2-x）ex-2

令F(x)=f(x)-f(2-x)，即F(x)=xe-x+(x-2)ex-2

于是F’(x)= (x-1)(ex-2-e-x)

当x>l对，x-1>O, x-2>-x，ex-2>e-x，F'(x)>O，

从而函数F(x)在（1，+∞）是增函数。

由x>l得F（x）>F(1)=0

∴F(x)=f(x)-f(2-x)>O即f(x)>f(2-x)，

（3）证明：由(I)知；f(x)的增区间为(-∞,1),减区间为(1,+∞)

∵若x1≠x2,且f(x)=f(x2)

∴x1，x2.不可能同在(-∞，1)或(1，+∞)上

∴x1，x2中的一个在(-∞，1)上，另一个在(1，+∞)上

不妨设x1<l，x2>1

由（2）可知，f(x2)>g(x2)，又g(x2)=f(2-x2)。

所以f(x2)>f(2-x2)，从而f(x1)>f(2-x2)，

因为x2>1，所以2-x2<1.又由(I)可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数·

所以x1>2-x，即xl+x2>2。