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题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数的反函数是,则反函数的解析式是         。

正确答案

解析

知识点

反函数
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数的反函数为________.

正确答案

解析

知识点

反函数
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数的反函数为________.

正确答案

解析

知识点

反函数
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)若,试判断并用定义证明函数的单调性;

(2)当时,求证:函数存在反函数。

正确答案

见解析

解析

(1)判断:若,函数上是增函数.

证明:当时,

上是增函数.

在区间上任取,设

所以,即上是增函数.

(2)因为,所以

时,上是增函数,

证明:当时,上是增函数(过程略)

在在上也是增函数

时,上是增函数

所以任意一个,均能找到唯一的和它对应,

所以时,存在反函数

知识点

函数单调性的判断与证明反函数
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数f(x)=ex,x∈R.

(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;

(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;

(3)设a<b,比较的大小,并说明理由。

正确答案

(1) ;(2) 若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;若,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;若,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点,(3) 

解析

(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.

设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切,

则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)=

解得x0=e2.

(2)

曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数。

,则

∴φ′(2)=0.

当x∈(0,2)时,φ′(x)<0,φ(x)在(0,2)上单调递减;

当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增,

∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为.

当0<m<时,曲线与y=m无公共点;

时,曲线与y=m恰有一个公共点;

时,在区间(0,2)内存在,使得φ(x1)>m,在(2,+∞)内存在x2=me2,使得φ(x2)>m.由φ(x)的单调性知,曲线与y=m在(0,+∞)上恰有两个公共点。

综上所述,当x>0时,

若0<m<,曲线y=f(x)与y=mx2没有公共点;

,曲线y=f(x)与y=mx2有一个公共点;

,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点。

(3)解法一:可以证明.

事实上,

(b>a),(*)

(x≥0),

(仅当x=0时等号成立),

∴ψ(x)在[0,+∞)上单调递增,

∴x>0时,ψ(x)>ψ(0)=0.

令x=b-a,即得(*)式,结论得证。

解法二:

[(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2],

设函数u(x)=xex+x-2ex+2(x≥0),

则u′(x)=ex+xex+1-2ex

令h(x)=u′(x),则h′(x)=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立),

∴u′(x)单调递增,

∴当x>0时,u′(x)>u′(0)=0,

∴u(x)单调递增。

当x>0时,u(x)>u(0)=0.

令x=b-a,则得(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2>0,

因此,

知识点

反函数函数零点的判断和求解导数的几何意义不等式的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数的反函数为              。

正确答案

≠0)

解析

≠0)

知识点

反函数
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在同一直角坐标系中,函数 的图像可能是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

函数分别的幂函数与对数函数

知识点

指数函数的图像与性质对数函数的图像与性质反函数画函数的图象
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知函数是函数)的反函数,其图像过点,则         。

正确答案

解析

知识点

对数的运算性质反函数
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数反函数是(  )

Ay=e2x﹣1﹣1(x>0)

By=e2x﹣1+1(x>0)

Cy=e2x﹣1﹣1(x∈R)

Dy=e2x﹣1+1(x∈R)

正确答案

D

解析

由原函数解得

x=e2y﹣1+1,

∴f﹣1(x)=e2x﹣1+1,

又x>1,∴x﹣1>0;

∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中x∈R,

知识点

反函数
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数的图像关于直线对称,则       

正确答案

4

解析

由已知可知g(x)与f(x)是互为反函数,设g(3)=b,则1+log2b=3,解得b=4,所以g(3)=4.

知识点

函数的值反函数
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