直接法求轨迹方程
共41题

· 直接法求轨迹方程

直接法求轨迹方程
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题型：单选题

单选题 · 5 分

7．已知两点M（－2，0），N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（　　）

Ay2＝8x

By2＝－8x

Cy2＝4x

Dy2＝－4x

正确答案

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知识点

向量的模数量积的坐标表达式平面向量数量积的运算向量在几何中的应用直接法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知点O是△ABC所在平面内的一定点，P是平面ABC内一动点，若满足,则点P的轨迹一定经过△ABC的( )

A垂心

B重心

C内心

D外心

正确答案

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知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用直接法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 4 分

8. 函数的单调递减区间是（）

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知识点

直接法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知平面内一动点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点（）作倾斜角为的直线与曲线相交于，两点，若点始终在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围；

（3）过点（）作直线与曲线相交于，两点，问：是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由﹒

正确答案

见解析

解析

（1）易知椭圆的右焦点坐标为。

由抛物线的定义，知P点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线。

所以，动点P的轨迹C的方程为。 ……………………………………4分

（2）由题意知，直线AB的方程为。

代入，得。

设，则。

因为点始终在以线段为直径的圆内，

为钝角。

又，，

，。

即，

。

因此，

。

综上，实数的取值范围是。

（3）设过点的直线方程为，代入，得

，设，则，。

于是。

的中点坐标为

又

。

设存在直线满足条件，则。

化简，得。

所以，对任意的恒成立，

所以

解得，。

所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切，…………13分

知识点

直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（3）当P不在轴上时，在曲线上是否存在两个不同点C、D关于对称，若存在，求出的斜率范围，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）∵

∵直线相切，

∴ ∴

∵椭圆C1的方程是

（2）∵MP=MF2，

∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，

∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线

∴点M的轨迹C2的方程为

（3）显然不与轴垂直，设 (,)， (,)，且≠，则 =。

若存在C、D关于对称，则=- ∵≠0，∴≠0

设线段的中点为,则=(+)=,=，

将代入方程求得：=-( -)=(-)

∵-=-≠1∴ ≠()= ∴线段的中点不在直线上。

所以在曲线上不存在两个不同点C、D关于对称

知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 如图，已知定点，点是定直线上的动点，∠的角平分线交于．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若（1）中轨迹上是否存在一点，直线与,使得∠是直角？如果存在，求点坐标；如果不存在，请说明理由。

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知识点

直接法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．在平面直角坐标系中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为，点（为常数），且（）

（1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；

（2）当且时，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，曲线与曲线四个交点按逆时针依次为，且点在一象限，

①证明：四边形为正方形；

②若，求值．

正确答案

解：（1）设，所以，由得

①当时，曲线是焦点在轴的双曲线；

②当时，曲线是焦点在轴的椭圆；

③当时，曲线是圆；

④当时，曲线是焦点在轴的椭圆；

（2）①当且时，曲线是椭圆，曲线方程为,

设所以两曲线四个交点坐标，

所以四边形为正方形；

②设，当时，，解得．

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知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知点F（1，0），直线：x=2，设动点P到直线的距离为d，已知|PF|=d且

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若=，求向量与的夹角。

正确答案

（1）所求的点P轨迹方程为

（2）向量与的夹角为

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知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角直接法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.点F为(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且，

（1）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；

（2）设A(x1，y1)、B(x2，y2)、D(x3，y3)是曲线C上的三点，且、|、成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标．

正确答案

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知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系向量在几何中的应用等差数列的性质及应用直接法求轨迹方程

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