直接法求轨迹方程
共41题

· 直接法求轨迹方程

直接法求轨迹方程
共41题

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题型：简答题

简答题 · 15 分

已知是坐标系的原点，是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于,两点，弦的中点为，的重心为．

22. 求动点的轨迹方程；

23.设22题中的轨迹与轴的交点为，当直线与轴相交时，令交点为，求四边形

的面积最小时直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：焦点，显然直线的斜率存在，设，联立，消去得，，设，则，所以，所以，消去，得重心的轨迹方程为.

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

利用相关知识求抛物线方程；

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线：．

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知及22题知，，

因为，所以//，(注：也可根据斜率相等得到)，，

点到直线的距离，所以四边形的面积

，

当且仅当，即时取等号，此时四边形的面积最小, 所求的直线的方程为 .

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

根据题中条件求出面积，再利用均值不等式求出面积的最值．

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.过原点的直线交圆于点Q,在直线OQ上取一点P,使点P到直线y=2的距离|PM|等于|PQ|,当直线绕原点旋转时,则点P的轨迹方程为　　　　.

正确答案

x=0或

解析

如图,设P(x,y),连接AQ,AP,因为∠AQP=90°,

所以△AQP≌△AMP,

又=2,由

即

得x=0或

故点P的轨迹方程为x=0或

知识点

直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A直线

B椭圆

C抛物线

D双曲线

正确答案

解析

在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,DC与A1D1是两条互相垂直的异面直线,平面ABCD过直线DC且平行于A1D1,以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设点P(x,y)在平面ABCD内,且到A1D1与DC的距离相等,则|x|=，整理得x2-y2=a2.

知识点

双曲线的定义及标准方程直接法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 15 分

20．已知抛物线：，过焦点的直线交于两点．

（1）若线段的中点为,求点的轨迹方程；

（2）若的面积为(为坐标原点)，求证：为定值，并求出此定值．

正确答案

（1）；

（2）

解析

本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）由直线的参数表示出点，再化为直角坐标方程；

（2）根据弦长公式求出长和对应面积。

（1）法一：

设，，

得：

，

（1）当时，，，整理得：

（2）当时，适合*式

综上：的轨迹方程为

（1）法二：

设，，

，，的轨迹方程为

（2）

（定值）

考查方向

本题考查了求轨迹方程的方法、中点弦的处理方法、弦长公式及面积问题，常见求轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法及参数法。圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

易错点

1、求轨迹方程方法不熟练和点差法如何处理中点弦。

2、含参运算不正确导致出错。

知识点

抛物线焦点弦的性质直接法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长．

正确答案

（1）；

（2）线段的长为．

解析

⑴解：设曲线上任意一点坐标为，

由题意，，

整理得，即，为所求。

⑵解：由题知，且两条直线均恒过点，

设曲线的圆心为，

则，线段的中点为，

则直线：,设直线：，

由，解得点，

由圆的几何性质，，而，，，解之得或，又两点均在轴下方，直线：.由

解得或不失一般性，

设，

由消得：，

⑴ 方程⑴的两根之积为1，

所以点的横坐标，

又因为点在直线上，解得，直线，

所以，

同理可得，，所以线段的长为。

考查方向

本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

1、利用已知求解。

2、联立直线与圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

圆的一般方程直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

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