平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
共611题

平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设.

（1）求的值；

（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；

（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

二次函数， …………………………………………………1分

关于的不等式的解集为，

也就是不等式的解集为，

∴和是方程的两个根。

由韦达定理得：

∴ …………………………………………………………………………………2分

（2）由（1）得，

，

存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为，

…………………………………………4分

， ………………………………………………………………5分

令，则

当时，，

在上为增函数

从而， …………………………………………7分

（3）的定义域为.

∴.

方程（*）的判别式

①若时，，方程（*）的两个实根为

或

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增。

此时函数存在极小值，极小值点为，可取任意实数. ………………………9分

②若时，当，即时，恒成立，，在上为增函数，

此时在上没有极值 …………………………………………………………10分

下面只需考虑的情况

由,得或，

当，则

故时，，

∴函数在上单调递增。

∴函数没有极值. …………………………………………………………………11分

当时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

此时函数存在极大值和极小值，极小值点，有极大值点.

综上所述, 若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；

若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中, ）………………13分

知识点

平面向量的概念辨析

题型：填空题

填空题 · 4 分

随机变量ξ服从正态分布N(40, )，若P(ξ<30)=0.2，则P(30<ξ<50)= .

正确答案

0.6

解析

，

所以

知识点

平面向量的概念辨析

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是

正确答案

解析

因为向量与向量的夹角为，所以，即，所以，即，选B.

知识点

平面向量的概念辨析

题型：单选题

单选题 · 5 分

若，且，则向量与的夹角为

A30°

B60°

C120°

D150°

正确答案

解析

因为，所以，即.所以，所以向量与的夹角的余弦值，所以，选C.

知识点

平面向量的概念辨析

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量且，若变量x,y满足约束条件，则z的最大值为

正确答案

解析

由得（，1）（2，）＝0，即z＝2x＋y，

画出不等式组的可行域，如右图，目标函数变为：，作出y＝－2x的图象，并平移，图由可知，直线过A点时，在y轴上的截距最大，此时z的值最大：求出A点坐标（1，1）

＝2×1＋1＝3，所以，选C。

知识点

平面向量的概念辨析

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量，，则与夹角的余弦值为（）

正确答案

解析

因为向量，，两式相加和相减可得，和；由数量积的定义式知，

知识点

平面向量的概念辨析

题型：填空题

填空题 · 5 分

在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足，若，则λ=　　。

正确答案

解析

由题意可得=0，因为，

由于=（）•（）=[（1﹣λ）]•[λ]

=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，

解得 λ=，

故答案为：。

知识点

平面向量的概念辨析

题型：简答题

简答题 · 13 分

在中，分别是角A、B、C的对边，，且。

（1）求角A的大小；

（2）求的值域，

正确答案

见解析

解析

（1）由得

由正弦定理得

（2）

由（1）得

知识点

平面向量的概念辨析

题型：单选题

单选题 · 5 分

设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则

A若m//，n//，则m//n

B若m//，m//，则//

C若m//n，m，则n

D若m//，，则m

正确答案

解析

因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项A错误.当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项B错误.同样理由可得：选项D错误.当 m，则m内任一直线，因为m//n，所以n内任一直线，即n，因此选项C正确。

知识点

平面向量的概念辨析

题型：简答题

简答题 · 13 分

在中，.

（1）求的值；

（2）求的值。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）因为 ,

（2）=

所以 ,

知识点

平面向量的概念辨析

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