平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
共611题

平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理
共611题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

13.在中，点D满足，点是线段上的一个动点（不含端点），

若，则=______.

正确答案

解析

因为E在BD上

∴

考查方向

本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理的应用，属于基础题

解题思路

1、建立基底，所有的向量使用基底表示，2、使用共线条件得出关系

易错点

主要易错于三点共线的转换

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

13．已知为所在平面内的一点，且．若点在的内部(不含边界)，则实数的取值范围是____．

正确答案

解析

如图所示，点M 在△ABC 内部（不含边界）

则为一临界条件，

此时n=0，又M不在边界上，所以n>0

过D 点作平行于 AC 的直线，并交BC 于F 点，则，

此时， ， M 点与F 点重合，为另一临界条件．

综上， n 的取值范围为

考查方向

本题主要考查平面向量几何运算的性质及平行四边形法则的应用等知识,意在考查考生用数形结合思想解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较易。

解题思路

由题根据作平行四边形。根据比例关系得到，再由平行关系得结论。

易错点

本题在根据平行四边形法则由转换成平行四边形上易出错。本题在比例关系化简上易出错。

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，

的中点。如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有个不同的点

使得成立，那么的取值范围是（）

A（，）

B（，）

C（，）

D（，）

正确答案

解析

以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则梯形的高为

考查方向

本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数与二次方程的关系，分类讨论思想，属于中档题．

解题思路

该题使用建立坐标系，设P的坐标，根据得到关于x的方程，根据P的位置分四种情况讨论方程解得情况．

易错点

主要易错于讨论不全，漏解

知识点

向量的几何表示向量加减混合运算及其几何意义

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（）

正确答案

解析

,,所以，故选C选项。

考查方向

本题主要考查向量的线性运算和向量的数量积运算等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合能力。

解题思路

1.先将向量,用基底表示出来；2.后利用数量积的运算法则求解即可。

易错点

不知道应该将向量,用基底表示出来；2.运算出错。

知识点

向量的几何表示向量的减法及其几何意义

题型：单选题

单选题 · 5 分

9. 如图，菱形的边长为2，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为( )

正确答案

解析

由平面向量的数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积,所以

考查方向

本题主要考查平面向量的数量积和向量的线性运算等知识，意在考查考生的转化与化归和运算求解能力.

解题思路

1.先将所求的函数的最大值的情况找到；2.利用平面向量基本定理将，后带入题中给出的数据计算即可。

易错点

1.不知道最大是什么情况；2.不会将所求的向量用已知的向量去表示。

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知菱形边长为2，，点P满足，．若，则的值为（）

正确答案

解析

如图，因为所以, 解得=1，

所以，故选A.

考查方向

本题主要考查了平面几何中菱形的几何性质以及向量的线性运算和数量积运算，在近几年的各省高考题中，是高频考点，特别是向量的有关计算。

解题思路

画出图形，分别把用菱形的两边的和来表示，再进行数量积运算，建立关于线段BP的方程，解得BP的值后，就可以求出的值。

易错点

不会利用向量加法的几何意义运算或进行向量的数量积运算时，夹角出错，

知识点

向量的几何表示平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：简答题

简答题 · 7 分

已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）。

（1）求矩阵A；

（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。

正确答案

（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，

解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；

（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，

令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，

设λ1=1对应的一个特征向量为α=，

则由λ1α=Mα，得x+y=0

得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，

所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，

同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为。

解析

计算题；矩阵和变换。

（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；

（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量。

知识点

向量的模

题型：单选题

单选题 · 5 分

根据统计，一名工作组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（，为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是( )。

A75，25

B75，16

C60，25

D60，16

正确答案

解析

由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D。

知识点

向量的模

题型：简答题

简答题 · 13 分

在中，角，，的对边分别是，，，已知，．

15．求的值；

若角为锐角，求的值及的面积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

因为，且，

所以．

因为，

由正弦定理，得．…………………6分

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或（舍负）．．

解析

由得．

由余弦定理，得．

解得或（舍负）．

所以． …………………13分

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