- 元素与集合关系的判断
- 共59题
定义函数,其中
表示不小于
的最小整数,如
,
,当
(
)时,函数
的值域为
,记集合
中元素的个数为
,则
________________。
正确答案
2
解析
略
知识点
对于实数,将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分,用记号
表示,对于实数
,无穷数列
满足如下条件:
其中
.
(1)若,求数列
;
(2)当时,对任意的
,都有
,求符合要求的实数
构成的集合
。
(3)若是有理数,设
(
是整数,
是正整数,
、
互质),问对于大于
的任意正整数
,是否都有
成立,并证明你的结论。
正确答案
见解析
解析
(1),
, ………2分
,则
所以. ………4分
(2),所以
,所以
,
①当,即
时,
,所以
,
解得(
,舍去). ………6分
②当,即
时,
,所以
,
解得(
,舍去). ………7分
③当,即
时,
,所以
,
解得(
,舍去). ………9分
综上,,
,
. ………10分
(3)成立. ………11分
(证明1)
由是有理数,可知对一切正整数
,
为0或正有理数,可设
(
是非负整数,
是正整数,且
既约). ………12分
①由,可得
; ………13分
②若,设
(
,
是非负整数)
则 ,而由
得
,故
,
,可得
………14分
若则
, ………15分
若均不为0,则这
正整数互不相同且都小于
,
但小于的正整数共有
个,矛盾. ………17分
故中至少有一个为0,即存在
,使得
.
从而数列中
以及它之后的项均为0,所以对不大
于的自然数
,都有
.
(证法2,数学归纳法) ………18分
(其它解法可参考给分)
知识点
已知全集,
,则
。
正确答案
解析
略
知识点
设集合A =[0,1),B=[1,2],函数
则x0 的取值范围是( )
正确答案
解析
略
知识点
已知 且
;
:集合
,且
。若
∨
为真命题,
∧
为假命题,求实数
的取值范围。
正确答案
解析
解析:若成立,则
,
即当时
是真命题; ……………………4分
若,则方程
有实数根,
由,解得
,或
,
即当,或
时
是真命题; ……………………8分
由于∨
为真命题,
∧
为假命题,∴
与
一真一假,
故知所求的取值范围是
, ……………………12分
知识点
13.对于任意实数,
表示不小于
的最小整数,
.定义在
上的函数
,若集合
,则集合
中所有元素的和为______.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19.已知数列的前
项的和为
,且
,
.
(1)证明数列是等比数列
(2)求通项与前
项的和
;
(3)设,若集合
恰有
个元素,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
8.设函数,区间
,集合
,则使
成立的实数对
有( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.已知数列的首项
其中
,
令集合
.
(Ⅰ)若是数列
中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)当时,求集合
中元素个数
的最大值.
正确答案
解:(I)27,9,3;8,9,3;6,2,3.
(II)若被3除余1,则由已知可得
,
;
若被3除余2,则由已知可得
,
,
;
若被3除余0,则由已知可得
,
;
所以,
所以
所以,对于数列中的任意一项
,“若
,则
”.
因为,所以
.
所以数列中必存在某一项
(否则会与上述结论矛盾!)
若,则
;若
,则
,若
,则
,
由递推关系易得.
(III)集合中元素个数
的最大值为21.
由已知递推关系可推得数列满足:
当时,总有
成立,其中
.
下面考虑当时,数列
中大于3的各项:
按逆序排列各项,构成的数列记为,由(I)可得
或9,
由(II)的证明过程可知数列的项满足:
,且当
是3的倍数时,若使
最小,需使
,
所以,满足最小的数列
中,
或7,且
,
所以,所以数列
是首项为
或
的公比为3的等比数列,
所以或
,即
或
,
因为,所以,当
时,
的最大值是6,
所以,所以集合
重元素个数
的最大值为21.
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
14.设集合是实数集
的子集,如果点
满足:对任意
,都存在
,使得
,那么称
为集合
的聚点.则在下列集合中
① ;
② ;
⑤ ;
④ 整数集.
以0为聚点的集合有__________ .(请写出所有满足条件的集合的编号)
正确答案
②③
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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