向量在几何中的应用
共173题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在四边形ABCD中，，，则四边形的面积为（）

D10

正确答案

解析

由题意，容易得到，设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和

即S= ，容易算出，则算出S=5.故答案C

知识点

向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则(　　)

D10

正确答案

解析

如图在Rt△ABC中，因为D为斜边AB的中点，所以|CD|＝|AB|，又P为CD中点，所以|CP|＝|PD|，以PA、PB为邻边作APBQ，则有|PA|2＋|PB|2＝(|PQ|2＋|PB|2)

而|PQ|＝2|PD|＝2|PC|，|AB|＝2|CD|＝4|PC

故|PA|2＋|PB|2＝[(2|PC|)2＋(4|PC|)2]＝10|PC|2

即.

知识点

向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程。

正确答案

（1）.

解析

设，由题意知＜0，＞0.

（1）直线l的方程为，其中.

联立得

解得

因为，所以.

即

得离心率 .

（2）因为，所以.

由得.所以，得a=3，.

椭圆C的方程为.

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为__________。

正确答案

解析

如图所示，在平行四边形ABCD中，＝＋，＝＋＝＋.

所以·＝（＋）·＝||2＋||2＋·＝||2＋||＋1＝1，解方程得||＝（舍去||＝0），所以线段AB的长为.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________。

正确答案

解析

此题最适合的方法是特例法。

假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝。

cos∠BAC＝。＝

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

在正三角形中，是上的点，，则。

正确答案

解析

法一：如图，在ABD中，由余弦定理得，==7，∴AD=，==，

∴===.

法二：∵=,

∴===

==.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是。

正确答案

解析

由题意得：，∵，，∴，

又∵，∴.

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

如图，在中，,,,则 .

正确答案

解析

本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。

正确答案

见解析

解析

（1）由已知可设椭圆的方程为，

其离心率为，故，则，

故椭圆的方程为

（2）解法一两点的坐标分别为，

由及（1）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为.

将代入中，得，所以，

又由，得，即，

解得，故直线的方程为或

解法二两点的坐标分别为，

由及（1）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为.

将代入中，得，所以，

又由，得，，

将代入中，得，即，

解得，故直线的方程为或

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

在中，，，，则

正确答案

解析

由下图知.

.又由余弦定理知，解得.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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