向量在几何中的应用
共173题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为（）

A等边三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等腰三角形但不是等边三角形

正确答案

解析

略。

知识点

向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知四边形是边长为的正方形，若，则的值

为 .

正确答案

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于,两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得。

解得，。

所以。

所以椭圆的标准方程是。 ……………4分

（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：

由得。

，化简得。

设，则

，。

若成立，

即，等价于，所以。

，

化简得，。

将代入中，，

解得，。

又由，，

从而，或。

所以实数的取值范围是。 ……………14分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图所示，点是圆上的两点，，点D是圆周上异于A，B的任意一点，线段OD与线段交于点，若，则；若，则的取值范围是（）。

正确答案

1；

解析

略

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知平面向量，满足，，与的夹角为，则__________。

正确答案

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，在梯形中，，，，点是边上一动点，则的最大值为（）。

正确答案

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为，设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为焦距为，所以，因为椭圆过点（，），

所以，故，… 2分

所以椭圆的方程为 …………4分（2）由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、，得。……… 5分

当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()，，

由得，则，

故。 ………………………………………… 6分

此时，直线斜率为，的直线方程为。

即。

联立消去，整理得。

设，

所以，。 ……………………………9分

于是

。…… 11分

由于在椭圆的内部，故

令，，则。 …………… 12分

又，所以。

综上，的取值范围为。 …………………… 13分

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，试证明：直线过定点并求此定点.

正确答案

见解析

解析

知识点

向量在几何中的应用等差数列的性质及应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为

正确答案

解析

试题分析：以M点为原点，x轴平行于,y轴垂直于，建立直角坐标系，则M（0，0），A（0，）,B（-1，-）,C（1，-），

设直线l的方程为y=kx （0≤k≤）（1），直线AB的方程y-=（2），

联立（1）（2），得P点的坐标为（，），

直线AC的方程：y-=-x，（3），

联立（1）（3），得Q点的坐标为（，），

则=（+1，+）,

即=（+1，），=（-1，）,

·=（+1）（-1）+（）（）=，

因为0≤k≤，所以·=≤=，

当且仅当k=0，即直线l平行于x轴时取等号。

故·的最大值是.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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