向量在几何中的应用
共173题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

7． O是平面上一定点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足则P点的轨迹一定经过ABC的（）

A外心

B内心

C重心

D垂心

正确答案

解析

由

再由共线定理知点必经过ABC的内心，（重垂内外，中高角直）所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了向量的运算和几何体现，常考的有向量的数量积和坐标运算，以及在圆锥曲线上角度、长度等的应用。

解题思路

先对原式变形可得

所以

再由共线定理知点必经过ABC的内心；

易错点

1、不理解向量的意义；

2、对三角形的各心与对应线没有对应起来。

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则_________．

正确答案

解析

由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是（）

正确答案

解析

如图，

建立直角坐标系，则E（0,4）F（6,4）

（1）当P点在CD上时，设P（x,0）,则,

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

（2）当P点在AB上时，设P(x,6) ,则,

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

（3）当P点在AD上时（当P点在BC上的情况与在AD上相同），设P（0，y）

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

综上，当时，在AD和BC上各存在两个点P，在AB上也存在两个点P，共6个。

考查方向

本题主要考查向量的数量积的运算、分类讨论的思想方法以及二次函数的根的个数，难度中档。在高考中，向量的数量积常结合三角形或四边形等几何图形以及三角函数进行出题。

解题思路

以D点为坐标原点建立直角坐标系，再分别讨论P点在AB，CD，以及AD和BC上的时候的情况，计算向量的数量积，并判断方程根的个数。（P在AD和BC上情况是一样的，不必分开讨论）

易错点

不能很好的判断方程根的个数

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知点为坐标原点，椭圆C的离心率为,点在椭圆C上．直线过点，且与椭圆C交于，两点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C上是否存在一点，使得？若存在，求出此时直线的方程，若不存在，说明理由．

正确答案

（I）

（Ⅱ）存在直线的方程为或

解析

（I）由题意得解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）（1）当直线与轴垂直时，点，直线的方程为满足题意；

（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.

设，，将代入得，

由直线，过点，得，

因此．

，得满足

所以直线的方程为．

综上，椭圆C上存在点，使得成立，此时直线的方程为

或 .

考查方向

本题主要考察椭圆的定义，以及直线与椭圆的综合问题，题目难度中等，计算量较大，是高考热点问题。圆锥曲线在高考中常常考察椭圆中的弦长、三角形面积的最值问题，以及定值和定点问题，或者求某一参数的取值范围，题目计算量较大，需要悉心计算。

解题思路

第一问直接根据离心率得到之间的关系，再根据过点列出方程组，解出

第二问设直线方程，别忘了考虑斜率不存在的情况，然后根据得到P点坐标,然后把P点坐标代入椭圆方程，得到关于的方程，解出即可。

易错点

1、在第二问设斜率的时候没有考虑斜率不存在的情况；

2、在第二问中计算出错

知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．如图，菱形的边长为2，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）

正确答案

解析

以点A坐标为原点建立如图所示的直角坐标系，因为菱形的边长为2，可以得到A(0,0),B(2,0),CD,M,所以可得，结合图象可得当目标函数经过C点时，Z取最大值为9.所以选D

考查方向

平面向量的应用简单线性规划

解题思路

建立适当的坐标系，利用线性规划理论，求目标函数最大值

易错点

没能正确建立坐标系

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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