向量在几何中的应用
共173题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

15.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别

为AD、CD的中点，则=__________．

正确答案

解析

考查方向

平面向量的线性运算及数量积运算.

解题思路

本题考查了平面向量的数量积运算，可采用基向量法也可采用坐标法.基向量法需要选择合适的基底，

由于已知菱形的边长且,所以应选择为基底，把用基向量表示出来，通过向量数量积的定义即可得解，

另外还可以尝试以为原点，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，通过平面向量数量积的坐标运算亦可求解.

易错点

本题考查用基底表示时易错。

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（）

A内部

BAC边所在直线上

CAB边所在直线上

DBC边所在直线上

正确答案

解析

由已知，得，可得，由共线可知，P点一定在AC边所在直线上。

考查方向

本题主要考查了向量的基本运算以及平面几何的综合应用

易错点

向量基本运算需要仔细运算

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

3．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）

正确答案

解析

,所以，，选D。

考查方向

本题主要考察了平面向量的基本定理，属于中档题，是高考的热点，解决此类题的关键是会利用平面向量的基本定理，用两个不共线的向量表示平面内任一向量。

易错点

本题易在向量的表示过程中出现错误。

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 4 分

11．如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足，，若（），则____________．

正确答案

解析

以为坐标原点，如图建立直角坐标系．

设，则

∵，，

∴．

∵（），

∴，

∴即两式相加，

得

解得．

考查方向

本题考查了向量的坐标运算及平面向量分解定理，属于容易题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与直线、圆锥曲线、数列、函数等知识点交汇命题．

解题思路

用坐标法求解；恰当选择新的基向量，寻找与基向量的关系，从而求得的值．

易错点

题中所选的基向量不垂直，学生不容易找到相互之间的关系．

知识点

向量加减混合运算及其几何意义向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

20. 已知两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足.

（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

（II）一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（III）直线与曲线C交于A、B两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由

正确答案

解: (Ⅰ) 因为

即

所以

又因为,所以

即:,即

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为

联立直线和椭圆方程

得:

由,得

设

则 (1)

以直径的圆恰过原点

所以,

即

也即

即

将(1)式代入,得

即

解得,满足（*）式，所以

(Ⅲ)由方程组,得

设,则

所以

因为直线过点

所以的面积

,则不成立

不存在直线满足题意

解析

见答案

考查方向

本题主要考查动点的轨迹方程

解题思路

先求出动点运动的轨迹，然后判断是椭圆，然后根据椭圆的相关性质求解

易错点

找不到动点的运动规律，抓不住等量关系列出圆锥曲线方程，计算能力弱

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用定义法求轨迹方程

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