- 向量在几何中的应用
- 共173题
已知定点,直线
,点
为坐标平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为点
,且
,设动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
有两个不同的交点
、
,求证:
;
(3)记与
的夹角为
(
为坐标原点,
、
为(2)中的两点),求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)设点的坐标为
。 (1分)
由题意,可得,
,
,
,(3分)
由与
垂直,得
,即
(
)。 (6分)
因此,所求曲线的方程为
(
)。
(2)因为过点的直线
与曲线
有两个不同的交点
、
,所以
的斜率不为零,故设直线
的方程为
。 (7分)
于是、
的坐标
、
为方程组
的实数解。
消并整理得
, (8分)
于是进一步得
(10分)
又因为曲线(
)的准线为
,
所以,得证。 (12分)
(3)由(2)可知,,
。
于是,
(16分)可求得的取值范围为
。 (18分)
知识点
在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知曲线
上任意一点
(其中
)到定点
的距离比它到
轴的距离大1.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若过点的直线
与曲线
相交于不同的
两点,求
的值;
(3)若曲线上不同的两点
、
满足
求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意知,动点到定点
的距离等于
到直线
的距离,曲线
是
以原点为顶点,为焦点的抛物线………(2分)
∵
∴
∴ 曲线方程是
………(4分)
(2)当平行于
轴时,其方程为
,由
解得
、
此时 ………(6分)
当不平行于
轴时,设其斜率为
,
则由 得
设则有
,
………(8分)
∴
………(10分)
(3)设
∴ ………(12分)
∵
∴
∵,化简得
∴ ………(14分)
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
………(16分)
知识点
设P是圆x2+y2=4上的任意一点,过P作x轴的垂线段PD,D为垂足, M是线段PD上的点,且满足|DM|=m|PD|(0<m<1),当点P在圆上运动时,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C的左焦点F作斜率为的直线l交曲线C于A、B两点,点Q满足
,是否存在实数m,使得点Q在曲线C上,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)如图设M(x,y)、P(x0,y0),则由|DM|=m|PD|(0<m<1)得
x= x0,|y|=m| y0|,即
∵,∴
即为曲线C的方程。………6′
(2)设,则
由得:
………8′
设A(x1,y1)、B(x2,y2).
则,
.
∴,………9′
∵
即Q点坐标为,将Q点代入
,得
.
∴存在当时,Q点在曲线C上。………13′
知识点
如图放置的正方形ABCD,AB =1.A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是____。
正确答案
2
解析
法一: 取的中点
,连接
,则。
法二:设,则
,
知识点
△ABC中,M为BC上任意一点,N为AM中点,若, 则
的值为_______
正确答案
解析
设M为BC的中点,则,
,则
或
,故
知识点
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