向量在几何中的应用
共173题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是其与轴的一个交点，定点（，），且，。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆相交于不同的两点，（，与点不重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）解：设椭圆的半焦距为（），由（，）及

得，即；由得，即，所以

所以椭圆的标准方程为

（2）证明：若直线与轴垂直，则，的坐标分别为（，），（），

于是

若直线的斜率存在，则设斜率为，

由（，）及，与点不重合知且

设，，直线的方程为

与椭圆的方程联立消去得

得，

于是

综上得为定值2

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，是圆的直径，是圆上的点，，，

，则的值为

正确答案

解析

设，建立如图所示坐标系，则，

，，故。

知识点

向量在几何中的应用与圆有关的比例线段

题型：单选题

单选题 · 5 分

设非零向量，满足，，则= ( )

正确答案

解析

法一:∵∴，∴解得：

∴∴

法二:利用向量几何意义画图求解.

知识点

数量积表示两个向量的夹角向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为，若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由，

抛物线与直线相切，

抛物线的方程为：，其准线方程为：，

离心率，，

故椭圆的标准方程为

（2）设，，

则当点在椭圆上运动时，

动点的运动轨迹

的轨迹方程为：

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此

因为点在椭圆上，所以，

故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为。

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）

正确答案

解析

略

知识点

向量在几何中的应用双曲线的几何性质

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