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题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上存在点,使得成立,则的取值范围为             ,

正确答案

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点。

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆上,为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为,      则所以椭圆的方程为……5分

(2)当直线斜率存在时,设直线方程为

则由

消去得,,         …………………6分

,  ①…………7分

点的坐标分别为,则:

,…………8分

由于点在椭圆上,所以 .                       ……… 9分

从而,化简得,经检验满足①式.

………10分

又点到直线的距离为:

             ………11分

当且仅当时等号成立                                         ………12分

当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,

从而点的坐标为,直线的方程为,所以点到直线的距离为1 .

所以点到直线的距离最小值为 .                                ………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

在平面直角坐标系中,椭圆的中心为坐标原点,左焦点为为椭圆的上顶点,且.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知直线与椭圆交于两点,直线)与椭圆交于两点,且,如图所示.

(ⅰ)证明:;

(ⅱ)求四边形的面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

(1)解:设椭圆的标准方程为.

因为

所以.

所以 .……………………2分

所以 椭圆的标准方程为.…………………3分

(2)设.

(ⅰ)证明:由消去得:.

………………………5分

所以

.

同理 .………………………7分

因为 ,

所以 .

因为

所以 .……………………9分

(ⅱ)解:由题意得四边形是平行四边形,设两平行线间的距离为,则 .

因为

所以 .………………………10分

所以

.

(或

所以 当时, 四边形的面积取得最大值为. ………………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为

的椭圆过点()。

(1)求椭圆的方程;

(2)设不过原点的直线与该椭圆交于两点,满足直线的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意可设椭圆方程为(a>b>0),则

所以,椭圆方程为

(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,

故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

消去y得

(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,

则△=64k2b2﹣16(1+4k2b2)(b2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0,

故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,

所以=k2

+m2=0,又m≠0,

所以k2=,即k=

由于直线OP,OQ的斜率存在,且△>0,得

0<m2<2且m2≠1。

设d为点O到直线l的距离,

则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=

所以S△OPQ的取值范围为(0,1)。

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于(    )。

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意得,又

知识点

椭圆的定义及标准方程
下一知识点 : 椭圆的几何性质
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