- 椭圆的定义及标准方程
- 共573题
已知椭圆的两个焦点分别为
,若椭圆上存在点
,使得
成立,则
的取值范围为 ,
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为
且抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
相交于A、B两点,以线段
为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆
上,
为坐标原点. 求点
到直线
的距离的最小值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为
, 则
所以椭圆
的方程为
……5分
(2)当直线斜率存在时,设直线方程为
,
则由
消去得,
, …………………6分
, ①…………7分
设点的坐标分别为
,则:
,…………8分
由于点在椭圆
上,所以
. ……… 9分
从而,化简得
,经检验满足①式.
………10分
又点到直线
的距离为:
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时,由对称性知,点
一定在
轴上,
从而点的坐标为
,直线
的方程为
,所以点
到直线
的距离为1 .
所以点到直线
的距离最小值为
. ………13分
知识点
在平面直角坐标系中,椭圆
的中心为坐标原点,左焦点为
,
为椭圆
的上顶点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线:
与椭圆
交于
,
两点,直线
:
(
)与椭圆
交于
,
两点,且
,如图所示.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求四边形的面积
的最大值。
正确答案
见解析
解析
(1)解:设椭圆的标准方程为
.
因为,
,
所以.
所以 .……………………2分
所以 椭圆的标准方程为
.…………………3分
(2)设,
,
,
.
(ⅰ)证明:由消去
得:
.
则,
………………………5分
所以
.
同理 .………………………7分
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 .……………………9分
(ⅱ)解:由题意得四边形是平行四边形,设两平行线
间的距离为
,则
.
因为 ,
所以 .………………………10分
所以
.
(或)
所以 当时, 四边形
的面积
取得最大值为
. ………………………13分
知识点
已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
的椭圆过点(,
)。
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点的直线
与该椭圆交于
、
两点,满足直线
,
,
的斜率依次成等比数列,求
面积的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意可设椭圆方程为(a>b>0),则
则故
所以,椭圆方程为。
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得
(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,
则△=64k2b2﹣16(1+4k2b2)(b2﹣1)=16(4k2﹣m2+1)>0,
且,
。
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2。
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以=k2,
即+m2=0,又m≠0,
所以k2=,即k=
。
由于直线OP,OQ的斜率存在,且△>0,得
0<m2<2且m2≠1。
设d为点O到直线l的距离,
则S△OPQ=d|PQ|=
|x1﹣x2||m|=
,
所以S△OPQ的取值范围为(0,1)。
知识点
已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于( )。
正确答案
解析
:
由题意得,又
。
知识点
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