椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，

得，，∴椭圆C1的方程为：，

（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，

F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x，

（3）Q（0，0），设，

∴，

由，得，∵y1≠y2

∴化简得，

∴（当且仅当y1=±4时等号成立），

∵，

又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时，

∴的取值范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

设F1，F2是椭圆的左右焦点，若直线上存在一点，使ΔF2PF1是底角为300的等腰三角形，则的取值范围是（）

A1 < < 2

B> 2

C1 < <

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.

正确答案

见解析

解析

（1）依题意，，，

所以.

故椭圆的方程为. ……………4分

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得.

不妨设，，

因为，又，所以，

所以的关系式为，即. ………7分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入整理化简得，.

设，，则,. ………9分

又，.

所以

………12分

所以，所以，所以的关系式为.………13分

综上所述，的关系式为. ………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为，且经过点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，连接，并

延长交直线于两点，设分别为点的纵坐标，且，求证：直线过定点。

正确答案

见解析

解析

（1）解：依题意，，所以， ……………2分

因为，所以， ……………3分

椭圆方程为， ………………5分

（2）证明：

消得，，…………6分

因为，，

所以，， ……………7分

设直线：，则；同理………9分

因为，

所以，即， ………10分

所以，

，

所以，得， ………………13分

则，故过定点，………………14分

知识点

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