椭圆的定义及标准方程
共573题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）

正确答案

解析

由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为。

（1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；

（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点。

i)当，求的值；

ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，∴。

∵，∴。

∵，∴，解得。

椭圆的方程为。

（2）

i)∵，∴，椭圆的方程可化为

…………①

易知右焦点，据题意有： ………②

由①，②有： …………③

设，

∴

ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。

设，

∵，∴

又点在椭圆上，∴ ……………④

由③有：

则

……………⑤

又在椭圆上，故有 …………⑥

将⑥，⑤代入④可得：。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点。

（1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）抛物线的焦点为，准线方程为，

∴ ①

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，

∴ 得上交点为，∴ ②

由①代入②得，解得：或（舍去），

从而

∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为

（2）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即，

由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得，解得，即，

又满足，故点在抛物线上。所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为 ▲

正确答案

解析

由题知即,解得

由椭圆的定义知△ABF2的周长为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知椭圆的离心率为，⊙过椭圆的一个顶点和一个焦点，圆心在此椭圆上，则满足条件的点的个数是

C12

D16

正确答案

解析

略

知识点

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