热门试卷

（1）依题意可设椭圆方程为  ，则右焦点，

由题设，解得，

故所求椭圆的方程为。

设，P为弦MN的中点，

由  得 ，

直线与椭圆相交，

 ，①  

，从而，

 ，又，则：

 ，即 ，   ②

把②代入①得  ，解得 ， 

由②得，解得。

综上求得的取值范围是。    

（1）设点的坐标分别为，

则

故，可得，    …………………2分

所以，…………………4分

故，

所以椭圆的方程为，　 　　　    　……………………………6分

（2）设的坐标分别为，则，

又，可得，即，  …………………8分

又圆的圆心为半径为，

故圆的方程为，

即，

也就是，                 ……………………11分

令，可得或2，

故圆必过定点和，　　　　　　　　     　……………………13分

（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）

(1)解法1：由消去得     

∵直线与抛物线只有一个公共点，

，解得              

∴直线的方程为                     

解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为

由，得

∴直线的斜率                        

依题意得，解得                  

把代入抛物线的方程，得

∵点在直线上，

解得                     

∴直线的方程为               

(2)解法l：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为         

设点关于直线的对称点为

则     …

解得

∴点    

∴直线与直线的交点为           

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆的长轴长

其中当点P与点重合时，上面不等式取等号。

故当时，                 

此时椭圆的方程为，点P的坐标为        

解法2：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为              …

设椭圆的方程为             

由消去

得(*)       

    由

得                              

解得

当时，此时椭圆的方程为      

把代入方程(*)，解得            

∴点P的坐标为                          

（1）依题意得，

解得，∴

椭圆的方程为

（2）解法1：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

在中，，

所以有.

综上所述，点的轨迹的方程是.

解法2：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

设点的坐标为，则，

因此①

由,得,        ②

将代入，可得.

综上所述，点的轨迹的方程式.③

（3）   直线与相离，

过直线上任意一点可作圆的两条切线

所以

所以四点都在以为直径的圆上，

其方程④

为两圆的公共弦，③-④得：的方程为

显然无论为何值，直线经过定点.

（1）因为椭圆的焦点在轴上，

所以设椭圆的方程是.        …………………………  1分

因为短轴的一个端点到下焦点的距离是，离心率为

所以，        所以

所以椭圆的标准方程是                 …………………………  4分

（2）由（1）知，，且直线的斜率存在，设其方程为：，

由   得     …………………………  6分

设，，

所以，.                  …………………………  7分

所以面积（，异号）.

所以

   …………………………  9分

      …………………………  12分

当且仅当，即时，有最大值是

所以当时，面积的最大值是

…………………………  13分

（1）由， ，得，，

所以椭圆方程是：-----------------4分

（2）设EF：（）代入，得，

设，，由，得。

由，--------------6分

得，，（舍去），（没舍去扣1分）

直线的方程为：即--------------------9分

（3）将代入，得（*）

记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得。

解得，此时（*）方程，

存在，满足题设条件。-----------------14分

解：（1）由题意，可得a=2，e==，可得c=，∴  b2=a2﹣c2=1，

因此，椭圆的方程为，﹣

（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得，即，

又，代入得，即x2+y2=4。

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4。

（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），

∵A、C、R三点共线，∴∥，

而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），

∴t=，可得点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），

∴直线CD的斜率为k==，

而m2+n2=4，∴﹣n2=m2﹣4，代入上式可得k==﹣，

∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，

∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，

因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切。

（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为

所以，                                   解得， 。

故椭圆的方程为。                                          （方法2、待定系数法）

（2）设，，

由：，，                                    两式相减，得到

所以，即，                  同理，

所以，又因为直线的斜率之和为0，

所以                                                  方法2、（可参照方法1给分）

设直线：，代入椭圆，得到

，化简得

（以下略）

解析：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以

，椭圆E的方程为

（2）①由，得方程

由直线与椭圆相切得

求得，，中点到轴距离

。

所以圆与轴相交。

（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。

由得

所以，即

所以定点为。