热门试卷

（1）解法一:由题意得,,解得,

所以椭圆的方程为.

解法二:椭圆的两个交点分别为,

由椭圆的定义可得,所以,,

所以椭圆的方程为.

（2）解法一:由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;  设圆的圆心为,

则,

而,所以,所以,

所以,即线段的长度为定值.

解法二:由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;

则,而,所以,

所以,由切割线定理得

所以,即线段的长度为定值.

（1）由已知，椭圆方程可设为

由题意得。

∴所求椭圆方程为………………3分

（2）右焦点，直线的方程为。

设，

由      得  ，解得 。

∴ 。          ………………7分

（3）假设存在点满足条件,使得以为邻边的平行四边形是

菱形，因为直线与轴不垂直，

所以设直线的方程为，

由  可得。

由恒成立，

∴，………………9分

设线段PQ的中点为，

则…………10分

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，

∴MN⊥PQ  ∴KMN·KPQ

即：   ………………12分

  ………………14分

（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为     .

（2）证明：①当弦轴时，交点关于轴对称，又则，可设，得，此时原点到弦的距离；

②当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组   代入消元得：

由可得

由得即

，   所以

此时成立，

则原点到弦的距离

综上得原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值。

（3） 选择① 即

作四条直线围成四边形为以为顶点的“准圆”的内接矩形，记为，由椭圆性质可知：椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

选择② 即

解法一：存在这样的矩形，设“准圆”与坐标轴的交点分别为，顺次连结这四点得到矩形，下面证明椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

不妨设椭圆上的点，

线段上的点，则

因为

所以 ，即点在点的下方。

根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

解法二：存在这样的矩形，过点作直线,分别与椭圆有且只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长交“准圆”于点，连接,四边形就是所求的矩形。

依条件过点且与椭圆C有且只有一个公共点的直线的斜率存在，设其方程为，将代入椭圆的方程消去得到，因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，所以，解得.则直线，因为点在准圆上，所以是准圆的直径，又因为也是准圆的直径，所以四边形为矩形。根据对称性可知，椭圆完全落在矩形所围成的区域内(包括边界)。

[

选择③

射线与椭圆的“准圆”交于点， 作图方法：过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，并与“准圆”分别交于点、，延长线段交“准圆”于点，连接，四边形就是所求的矩形。

证明：易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直于轴，

设直线方程为，联列方程组，代入消元整理得：

因为只有一个公共点，所以，即. 直线的斜率是关于的方程的两个根，所以，得，即

因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径，得到

同理，由于也是直径，故.所以四边形为矩形；

因为都与椭圆只有一个公共点，根据对称性（与、与、椭圆、“准圆”都是关于原点对称），得:也都与椭圆只有一个公共点。

综上所述：存在满足条件的矩形且四边形就是所求的矩形。

（1）由知，，设，因在抛物线上，故

，又，则，得，而点在椭圆上，有，又，所以椭圆方程为（5分）

（2）设，由,得，即  ①     ②

由,得  ③    ,  ④ --------  （7分）

①③，得 , ②④,得 -----（9分）

两式相加得 ,又点在圆

上,由（1）知，即在圆上,且,

,即,点总在定直线上，---（12分）

解析：（1）因为椭圆C的一个焦点为，

所以，则椭圆C的方程为，

因为，所以，解得。

故点M的坐标为(1，4)。

因为M(1，4)在椭圆上，所以，得，

解得或（不合题意，舍去），则。

所以椭圆C的方程为。

（2）假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率，

由消去，化简得。

进而得到，。

因为直线与椭圆C相交于A，B两点，

所以，

化简，得，解得。

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

所以，所以。

又，

，

解得。

由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或。

（1）由题意得，故，（1分）

因为，所以，，（3分）

所以所求的椭圆方程为，（4分）

（2）依题意，直线AS的斜率存在，且，

故可设直线AS的方程为，从而，

由得，（6分）

设，则，得，从而，

即，（8分）

又由B(2，0)可得直线SB的方程为，

化简得，

由得，所以，

故，（11分）

又因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以时，线段MN的长度取最小值，（13分）

（1）因为椭圆C的离心率，所以，即，（4分）

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，

所以，所以，，所以椭圆C的方程为，（6分）

(2)(i)当直线的斜率不存在时。

因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为，（6分）

(ii)当直线的斜率为零时。

因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为。

由不妨设，，

则以AB为直径的圆的方程为。

显然以上两圆都经过点O(0，0)，（8分）

(iii)当直线的斜率存在且不为零时。

设直线的方程为。

由消去，得，

所以设，，则，。

所以。

所以，①（11分）

因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，

整理，得，  ②

将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)，（13分）

（1）依题意，，，所以，，，所以椭圆的离心率。

（2），当且仅当时，，当且仅当是直线与椭圆的交点时，，，所以的取值范围是。

设，由得，

由，解得或，

所求点为和

（1）依题意，得，，

；

故椭圆的方程为 ，                

（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设。

由于点在椭圆上，所以，     （*）          

由已知，则，，

，                   

由于，故当时，取得最小值为。

由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到，

故圆的方程为：，                        

方法二：点与点关于轴对称，故设，

不妨设，由已知，则

，       

故当时，取得最小值为，此时，

又点在圆上，代入圆的方程得到，

故圆的方程为：，                       

(3) 方法一：设，则直线的方程为：，

令，得， 同理：，    

故      （**）                 

又点与点在椭圆上，故，，

代入（**）式，得：

。

所以为定值，           

方法二：设，不妨设，，其中，则直线的方程为：，

令，得，

同理：，                 

故。

所以为定值，