热门试卷

（1）设点的坐标分别为，

则

故，可得，    …………………2分

所以，…………………4分

故，

所以椭圆的方程为，　 　　　    　……………………………6分

（2）设的坐标分别为，则，

又，可得，即，  …………………8分

又圆的圆心为半径为，

故圆的方程为，

即，

也就是，                 ……………………11分

令，可得或2，

故圆必过定点和，　　　　　　　　     　……………………13分

（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）

(1)解法1：由消去得     

∵直线与抛物线只有一个公共点，

，解得              

∴直线的方程为                     

解法2：设直线与抛物线的公共点坐标为

由，得

∴直线的斜率                        

依题意得，解得                  

把代入抛物线的方程，得

∵点在直线上，

解得                     

∴直线的方程为               

(2)解法l：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为         

设点关于直线的对称点为

则     …

解得

∴点    

∴直线与直线的交点为           

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆的长轴长

其中当点P与点重合时，上面不等式取等号。

故当时，                 

此时椭圆的方程为，点P的坐标为        

解法2：∵抛物线的焦点为

依题意知椭圆的两个焦点的坐标为              …

设椭圆的方程为             

由消去

得(*)       

    由

得                              

解得

当时，此时椭圆的方程为      

把代入方程(*)，解得            

∴点P的坐标为                          

（1）依题意得，

解得，∴

椭圆的方程为

（2）解法1：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

在中，，

所以有.

综上所述，点的轨迹的方程是.

解法2：设点的坐标为.

当重合时，点坐标为和点，

当不重合时，由，得.

由及椭圆的定义，，

所以为线段的垂直平分线，为线段的中点

设点的坐标为，则，

因此①

由,得,        ②

将代入，可得.

综上所述，点的轨迹的方程式.③

（3）   直线与相离，

过直线上任意一点可作圆的两条切线

所以

所以四点都在以为直径的圆上，

其方程④

为两圆的公共弦，③-④得：的方程为

显然无论为何值，直线经过定点.

解析：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以

，椭圆E的方程为

（2）①由，得方程

由直线与椭圆相切得

求得，，中点到轴距离

。

所以圆与轴相交。

（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。

由得

所以，即

所以定点为。