热门试卷

（1）由方程的（2）式平方减去（1）式得：　

（2）曲线的焦点到准线的距离为，离心率为，

所以曲线的极坐标方程为

解析： 解法一： （1）设椭圆方程为，由已知。

又。

所以，椭圆C的方程是+ =1，…………4分

（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1, …………5分

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)2+y2=。…………6分

由解得即两圆相切于点（1,0）。…………7分

因此所求的点T如果存在，只能是（1,0），

事实上，点T（1,0）就是所求的点，证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1,0）。

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)。

由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0。………………9分

记点A(x1,y1),B(x2,y2),则………………10分

又因为=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1

=(k2+1) +(k2-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件。…………13分

解法二：（1）由已知，设椭圆C的方程是，

因为点P在椭圆C上，所以,解得，

所以椭圆C的方程是：。………………4分

（2）假设存在定点T(u，v)满足条件。

同解法一得(k2+2)x2+k2x+k2-2=0。………………6分

记点A(x1,y1)，B(x2,y2),则…………7分

又因为=(x1-u, y1-v), =(x2-u, y2-v),及y1=k(x1+),y2=k(x2+)。

所以=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)

=(k2+1)x1x2+(k2-u-kv)(x1+x2)+k2-v+u2+v2

=(k2+1) +(k2-u-kv)+ -v + u2+v2，

=。…………10分

当且仅当=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T。

·=0恒成立等价于解得u=1,v=0，此时，以AB为直径的圆恒过定点T（1,0），……………………13分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件，…………13分

解法三：（1）同解法一或解法二。………………4分

（2）设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T（t,0），……5分

同解法一得………………7分

又因为=(x1-t, y1), =(x2-t, y2),所以

=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+)(x2+)

=(k2+1)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+k2+t 2

=(k2+1) +(k2-t)++t2

= 。…………………………10分

当且仅当=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T。

=0恒成立等价于解得t=1。

所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T。……………………12分

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T（1,0）。

所以在坐标平面上存在一个定点T（1,0）满足条件。………………13分

解析：（1）由F1(-1，0)得,∴A点坐标为；……2分

∵  ∴ 是的中点  ∴

∴ 椭圆方程为   ……5分

（2）当直线MN与PQ之一与轴垂直时，四边形PMQN面积

…………6分

当直线PQ，MN均与轴不垂直时，不妨设PQ：，

联立代入消去得

设 则………8分

∴ ，同理

∴四边形PMQN面积  ………10分

令，则，易知S是以为变量的增函数

所以当时，，∴

综上可知，，∴四边形PMQN面积的取值范围为………13分

解析：（1）∵过（0，0）

则

∴∠OCA=90°，  即  …………2分

又∵

将C点坐标代入得 

解得  c2=8，b2=4

∴椭圆m：  …………5分

（2）由条件D（0，－2）  ∵M（0，t）

①当k=0时，显然－2<t<2  …………6分

②当k≠0时，设

   消y得   …………8分

由△>0  可得     ①

设

则 ∴…11分

由

∴   ②

∴t>1  将①代入②得   1<t<4

∴t的范围是（1，4）………………12分

综上t∈（－2，4）  ………………13分