- 椭圆的定义及标准方程
- 共573题
已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为(),点在线段的垂直平分线上,且,求的值
正确答案
见解析。(1)椭圆的方程为
解析
(1)解:由,得,再由,得
由题意可知,
解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)解:由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理,得
由得
设线段AB是中点为M,则M的坐标为
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴,于是
(2)当K时,线段AB的垂直平分线方程为
令x=0,解得
由
整理得
综上
知识点
设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程。
正确答案
(1).
解析
设,由题意知<0,>0.
(1)直线l的方程为 ,其中.
联立得
解得
因为,所以.
即
得离心率 .
(2)因为,所以.
由得.所以,得a=3,.
椭圆C的方程为.
知识点
设椭圆,抛物线。
(1)若经过的两个焦点,求的离心率;
(2)设A(0,b),,又M、N为与不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为,且△QMN的重心在上,求椭圆和抛物线的方程。
正确答案
(1)
解析
(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:,由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有
。
由点在抛物线上,,解得:
故,得重心坐标.
由重心在抛物线上得:,,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为。
知识点
如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线、的斜率分别为、,证明;
(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的半焦距为,由题意知, ,又,
所以 ,,
又,因此。
故椭圆的标准方程为。
由题意设等轴双曲线的方程因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以
因此 双曲线的标准方程为。
(2)设,
则 ,
因为 点在双曲线上,所以。
因此 ,
即 。
(3)由于的方程为,将其带入椭圆方程得
,
由根与系数的关系得
所以
。
同理可得。
则 ,
又 ,
所以 。
故。
因此 存在,使恒成立。
知识点
现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是()。
正确答案
解析
∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。
知识点
已知向量a,b满足,则
正确答案
解析
知识点
如图,点F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q。
(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;
(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点。
正确答案
见解析
解析
(1)解:将点P(﹣c,y1)(y1>0)代入得
∴P
∵点Q的坐标是(4,4),PF1⊥QF2
∴
∵
∴a=2,c=1,b=
∴椭圆C的方程为;
(2)证明:设Q,∵PF1⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P,∴
∵,∴
∴y′=
∴当x=﹣c时,y′==
∴直线PQ与椭圆C只有一个交点。
知识点
在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为。
(1)求椭圆的方程
(2) 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。
正确答案
(1) 的方程为.
(2) 存在,面积最大为,点的坐标为或或或.
解析
(1)依题意,所以,
设是椭圆上任意一点,则,所以,
所以
当时,有最大值,可得,所以
故椭圆的方程为.
(2)[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,
由,得
所以,可得,
由韦达定理得,
所以
所以
设原点到直线的距离为,则
所以
设,由,得,所以,
,
所以,当时,面积最大,且最大为,
此时,点的坐标为或或或.
[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动,所以,,
圆心到直线的距离,
直线被圆所截的弦长为
所以,接下来做法同上。
知识点
已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率。
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知可设椭圆的方程为,
其离心率为,故,则,
故椭圆的方程为
(2)解法一 两点的坐标分别为,
由及(1)知,三点共线且点不在轴上,
因此可设直线的方程为.
将代入中,得,所以,
将代入中,得,所以,
又由,得,即,
解得 ,故直线的方程为或
解法二 两点的坐标分别为,
由及(1)知,三点共线且点不在轴上,
因此可设直线的方程为.
将代入中,得,所以,
又由,得,,
将代入中,得,即,
解得 ,故直线的方程为或
知识点
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率。
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P。
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值。
正确答案
见解析
解析
(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件,用待定系数法求解。
知识点
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