热门试卷

解析： （1）则由题设可知，    2分

又            3分

所以椭圆C的方程是.   ……4分

（2）解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，

将它代入椭圆方程，并整理，得，         ……5分

设点A、B的坐标分别为，则 

因为及

所以

                            ……8 分

当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，      ……9分

所以解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.               ……10分

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）。

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.  ……12分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是    ……6分

由解得.

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.          ……7分

事实上点T（0，1）就是所求的点.     证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分

设点A、B的坐标为，则

因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.          ……11分

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.      ……12分

（1）由题意得：                                 ………………3分

解得：

所以 椭圆的方程为.                        ………………4分

（2）不存在满足题意的菱形，理由如下：                 ………………5分

假设存在满足题意的菱形.

设直线的方程为，，，线段的中点，点.                                                         ………………6分

由得.                      ………………8分

由 ，解得.                ………………9分

因为 ，

所以 .                                      ………………11分

因为 四边形为菱形，

所以 是的中点。

所以 点的纵坐标.                  ………………12分

因为 点在椭圆上，

所以 .这与矛盾.                               ………………13分

所以 不存在满足题意的菱形.

（1）由题得，即，∴ 

（2）设，，直线方程：，联立

得

∴ ，

令，，其中等号成立时，

∴，   

解析：（1）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），

知

，

由于 即为中点。

故

，

故椭圆的离心率                                    ------------------4分

（2）由（1）知得于是（，0）, B，

△ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,

D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得=2，∴c =1，b=，

所求椭圆方程为.                         ------------------8分

（3）由（2）知, ：

           代入得 

设，

则，     ------------------9分

由于菱形对角线垂直，则

故

则

               ------------------10分

由已知条件知且

故存在满足题意的点P且的取值范围是。        ------------------12分

（1）由题知，且  即，

椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，必有，此时，

当直线的斜率存在时，设其斜率为、点，则

与椭圆联立，得，设 ，

则   即

又 

综上，无论怎样变化，的面积为常数。

（1）由题意可设椭圆C的方程为，F（c，0）。

由题意知

解得，c=1。

故椭圆C的方程为，离心率为。

（2）以BD为直径的圆与直线PF相切。

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）。

则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）。

由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0。

设点P的坐标为（x0，y0），则。

所以，。

因为点F坐标为（1，0），

当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2）。

直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2=1与直线PF相切。

当时，则直线PF的斜率。

所以直线PF的方程为。

点E到直线PF的距离=。

又因为|BD|=4|k|，所以。

故以BD为直径的圆与直线PF相切。

综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切。

（1）抛物线，

所以焦点坐标为，即，

所以。

又因为，所以。

所以，

所以椭圆的方程为。                            ……………………4分

（2）设，，因为，，

所以，，

所以，

所以。

由，得（判别式），

得，，

即。

设， 则中点坐标为，

因为，关于直线对称，

所以的中点在直线上，

所以，解得，即。

由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，

所以 ，解得。               ……………………14分