椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 13 分

在直角坐标系中，椭圆（）的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆上不同于、的一个动点，直线、与椭圆右准线分别相交于、. 证明：以为直径的圆必过椭圆外的一个定点。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由知：，设.

∵在上，，∴.

得：，……2分

在上，且椭圆的半焦距，∴，且.

消去并化简得：，解得，∴.

故椭圆方程为.……5分

（2）设，，.

则，，由、、三点共线，得，……7分

由、、三点共线，得.……8分

以为直径的圆的方程为：.

整理得：……9分

解，得：（舍去）

∴ 以为直径的圆必过椭圆外的一个定点，命题成立。 ……13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆左顶点为A，点B、C在椭圆上，且AB⊥AC。

（1）求证：BC恒过轴上一定点；

（2）求△ABC面积的最大值；

正确答案

见解析。

解析

（1）显然斜率不为0，所以可设方程为，

与椭圆联立得：，

设，所以.①

因为，

所以，②

①带入②化简可得，即或（舍）.所以恒过定点（-1，0）

（2）面积，

设，所以，当时，最大

即时最大为.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知随机变量服从正态分布，，则

A0.954

B0.977

C0.488

D0.477

正确答案

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。

正确答案

见解析

解析

（1）由已知解得，，方程为

（2）设，则

（i）当直线的斜率存在时，设方程为

联立得：

有 ①

由以为直径的圆经过坐标原点O可得：·

整理得： ②

将①式代入②式得：,

又点到直线的距离

所以

（ii）当直线的斜率不存在时，设方程为（）

联立椭圆方程得：

代入得到即，

综上：的面积是定值

又的面积，所以二者相等.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知圆，若椭圆

的右顶点为圆的圆心，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设椭圆的焦距为2c,因为

所以椭圆的方程为。

（2）设，

联立方程得

所以

则

又点到直线的距离，则

显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是y轴,与已知矛盾，所以要使,只要，所以

当时，.

当时，3，

又显然，所以。

综上，圆的半径的取值范围是。

知识点

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