热门试卷

（1）解：设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，

∴直线l被圆O截得的弦长为，

由2b=，解得b=，

∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，

∴

∴，解得a2=3

∴椭圆E的方程为；

（2）证明：设P（x0，y0），过点P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）

与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2（kx0﹣y0）2﹣6=0

∴△=[4k（y0﹣kx0）]2﹣4（3+2k2）[2（kx0﹣y0）2﹣6]=0

∴（）k2+2kx0y0﹣（）=0

设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，

∴k1k2=﹣

∵P在圆O上，∴，

∴k1k2=﹣=﹣1

∴两切线斜率之积为定值﹣1。

解析：（1）∵ ∴          

则椭圆方程为即

设则

当时，有最大值为

解得∴，椭圆方程是      

（2）设方程为

由    整理得.

由，得.

∴   则,

由点P在椭圆上，得化简得①  

又由即将，代入得

      化简，得

则,    ∴②     

由①，得

联立②，解得∴或 

解析：

（1）解：设椭圆的半焦距为（），由（，）及

得，即；由得，即，所以

所以椭圆的标准方程为

（2）证明：若直线与轴垂直，则，的坐标分别为（，），（），

于是

  若直线的斜率存在，则设斜率为，

由（，）及，与点不重合知且  

设，，直线的方程为

与椭圆的方程联立消去得

得，   

  于是

综上得为定值2   

（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

由知

展开整理得：x1x2+y1y2+x3x4+y3y4=x2x3+y2y3+x1x4+y1y4

即x1（x2﹣x4）+x3（x4﹣x2）+y1（y2﹣y4）+y3（y4﹣y2）=0

∴（x1﹣x3）（x2﹣x4）+（y1﹣y3）（y2﹣y4）=0

即，

∴  AC⊥BD…，（4分）

（2）解：（i）∵AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，

∴  四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m

则，即①

联立　得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0

∴

由（1）知OA⊥OB，

∴  x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0

∴

∴

∴  2m2﹣2+2m2k2﹣2k2﹣4k2m2+m2+2m2k2=0

∴ ②

②代入①有：

∴ 存在内切圆，其方程为：…，（9分）

容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立。

（ii）

∵

∴ =

令3m2﹣1=t，则

∴

∵ ，∴，故t≥1，

当时，，此时

容易验证，当k不存在时，…（13分）