椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

正确答案

（1）

（2）

解析

（1），所以椭圆方程为

（2）由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:

由得

,得:,即

设,

1)若为直角顶点,则 ,即 ,

,所以上式可整理得,

,解,得,满足

2)若为直角顶点,不妨设以为直角顶点,,则满足:

,解得,代入椭圆方程,整理得,

解得,,满足

时,三角形为直角三角形

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）过A点作直线交C1于C,D两点，连接OC,OD分别交C2于E,F两点，记，的面积分别为,.问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）∵∴焦点∴即

又∵ ∴

代入抛物线方程得.又B点在椭圆上得，

∴椭圆C2的标准方程为.

（2）设直线的方程为，由得

设，所以

又因为

直线的斜率为，故直线的方程为，

由得，同理

所以

则，

所以，

所以，故不存在直线使得

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知椭圆C的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个

不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆经过点其离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由已知，，所以， ①

又点在椭圆上，所以， ②

由①②解之，得.

故椭圆的方程为.

（2）当直线有斜率时，设时，

则由

消去得，，

， ③

设A、B、点的坐标分别为，则：

，

由于点在椭圆上，所以 .

从而，化简得，经检验满足③式。

又点到直线的距离为：

当且仅当时等号成立

当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，

从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1

所以点到直线的距离最小值为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为，若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由，

抛物线与直线相切，

抛物线的方程为：，其准线方程为：，

离心率，，

故椭圆的标准方程为

（2）设，，

则当点在椭圆上运动时，

动点的运动轨迹

的轨迹方程为：

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此

因为点在椭圆上，所以，

故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为。

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题

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