椭圆的定义及标准方程
共573题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于

原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为。

（1）求E的方程；

（2）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线

分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为、，求的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）设，则

，依题意有

又，所以解得

故的方程为

（2）设直线的方程为，代入的方程得

设，则

直线MA的方程为，把代入得

同理

所以

，令，则，

所以

记，则…

所以在单调递增地，所以的最小值为

故的最小值为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的右焦点为（1,0），设左顶点为A，上顶点为B,且，如图。

（1）求椭圆的方程；

（2）若，过的直线交椭圆于两点，

试确定的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，，，，则

由得： ∵ ∴，解得，

∴ 所以椭圆

（2）①若直线斜率不存在，则，此时，，＝；

②若直线斜率存在，设，，则

由消去得：

∴，

∴＝

∵ ∴ ∴ ∴

综上，的取值范围为。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O

于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H。

（1）求证：B、D、H、F四点共圆；

（2）若，求△BDF外接圆的半径。

正确答案

见解析

解析

（1）因为为圆的一条直径，所以

又，所以四点共圆

（2）因为AH与圆B相切于点F，

由切割线定理得，代入解得AD=4

所以

又△AFB∽△ADH，所以

由此得

连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，

故△BDF的外接圆半径为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 10 分

极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度。

（1）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；

（2）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:。

正确答案

见解析。

解析

（1）该椭圆的直角标方程为，…………………………………………2分

设，

所以的取值范围是 ………………………………………4分

（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数），（5分）

代入得：

即 …7分

设对应参数分别为，则，……8分

同理 ……………9分

所以（10分）

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线与轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且

（1）求此椭圆的标准方程;

（2）设P此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线于点,为的中点，判定直线与以为直径的圆O位置关系。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）可知，，，，

，

得

椭圆方程为

（2）设则

由得，

所以直线AQ的方程为，

由得直线的方程为

由，

又因为

所以

所以直线NQ的方程为

化简整理得到，

所以点O直线NQ的距离=圆O的半径，

直线与以为直径的圆O相切。

知识点

椭圆的定义及标准方程

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