椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 13 分

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”。

如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，。为椭圆与抛物线的一个公共点，。

（1）求椭圆的方程；

（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数中，令，

则（其中）。

如。

阅读上述文字，求“盾圆”的面积。

（3）过作一条与轴不垂直的直线，与“盾圆”依次交于四点，和分别为的中点，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由的准线为，，故记

又，所以，故椭圆为， 3分

（2）由知，，令

；

根据对称性， “盾圆”的面积为， 7分

（3）设过的直线为，

联立，得，则

由共线，所以

代入韦达定理整理得，

故为定值， 13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值。

正确答案

（1）（2）6

解析

解析：（1）设椭圆的标准方程为

由已知得， ……………………2分

又点在椭圆上，

椭圆的标准方程为 ……………………4分

（2）由题意可知，四边形为平行四边形 =4

设直线的方程为，且

由得

……………………6分

=+==

== …………………………8分

令，则 ==，……… 10分

又在上单调递增

的最大值为

所以的最大值为6. ………………………………12分

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知，为圆的直径，为垂直的一条弦，垂足为，弦交于

（1）求证：四点共圆；

（2）若，求线段的长.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）如图，连结，由为圆的直径可知

又，所以

因此四点共圆………………4分

（2）连结，由四点共圆得

又，所以因为在中，所以 ……………………10分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点。

（1）如果、两点的纵坐标分别为、，求和；

（2）在（1）的条件下，求的值；

（3）已知点，求函数的值域。

正确答案

（1）（2）（3）

解析

（1）根据三角函数的定义，得，。

又是锐角，所以。 ( 4分)

（2）由（1）知。

因为是钝角，所以。

所以。 ( 8分)

（3）由题意可知，，。

所以，

因为，所以，

从而，因此函数的值域为。 ( 12分)

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，过半径为的圆上的一点引半径为的的切线，切点为，若圆与内切于点，连结与交于点，则。

正确答案

解析

作两圆的公切线，连结，，则

所以

由弦切角定理知，，

则,,

所以，即.

知识点

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