椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角互补，

求证：直线过定点，并求该定点的坐标.

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）由椭圆C的离心率，得，其中，

椭圆C的左、右焦点分别为,又点F2在线段PF1的中垂线上

解得

（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为由

消去

△=（4km）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0

设则

且

由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补，得

化简，得

整理得

直线MN的方程为，

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的左右顶点分别为点在椭圆上，是关于原点的对称点，椭圆的右焦点恰好是的重心。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆与两点，若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1），

的重心是,由三角形重心的性质知：

，

∴椭圆E的方程为:

（2）设点，由得直线CD的直线方程为

由方程组消去，整理得

由已知得：，解得

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，在中，，，N在y轴上，且，点E在x轴上移动。

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，与点M的轨迹交于点A、B，与点M的轨迹交于点C、D，求的最小值。

正确答案

（1），（）

（2）12

解析

（1）设，，则，

且，即

∴，所以点F的轨迹方程为，（）…………（6分）

（2）设，，，，

直线的方程为：，，则直线的方程为

由得：；

则同理可得：

∵

，当且仅当时，取等号。

∴的最小值为12。……………………（12分）

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求的标准方程；

（2）设斜率不为的动直线与有且只有一个公共点且与的准线相交于点试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过点若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设的标准方程分别为：

和代入抛物线方程中得到的解相同，…………………………2分，

且和在椭圆上，代入椭圆方程得故的标准方程分别为　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

（2）设直线的方程为将其代入消去并化简整理得

与相切，

…………………………7分，

设切点则又直线与的准线的交点以为直径的圆的方程为

…………………………10分，

化简并整理得恒成立，故即存在定点合题意。　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………12分

知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的方程为,其中.

（1）求椭圆形状最圆时的方程；

（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.

正确答案

见解析。

解析

（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.

，当且仅当时取等号.

由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为.

（2）设交点，过交点的直线与椭圆相切.

（i）当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为.

（ii）当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，

与椭圆方程联立消，得：.

由相切，，

化简整理得. ①

因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，

故，整理得：.

又也满足上式，

故点的轨迹方程为，即点在定圆上.

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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