热门试卷

（1）依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，

设椭圆E的方程为

由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC

∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，

∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1) ，

将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得

∴所求的椭圆E的方程为

（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则

即点Q在直线上，

∴点Q即直线与椭圆E的交点，

∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，

∴满足条件的点Q存在，且有两个，

【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则

即，--------①

又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②

由①式得代入②式并整理得：，-----③

∵方程③的根判别式，

∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个，

（3）解法一：

设点，由M、N是的切点知，,

∴O、M、P、N四点在同一圆上，

且圆的直径为OP,则圆心为，

其方程为，

即-----④

即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，

∴M、N坐标也满足方程---------------⑤

⑤-④得直线MN的方程为，

令得，令得，-

∴，又点P在椭圆E上，

∴，即=定值

【解法二：设点则

直线PM的方程为化简得--------------④

同理可得直线PN的方程为---------------⑤

把P点的坐标代入④、⑤得

∴直线MN的方程为，令得，令得，∴，又点P在椭圆E上，

∴，即=定值。

（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，

，，———2分

椭圆的方程为———4分

（2），消去得

直线与椭圆有两个交点，，可得（*）———6分

设，

，，弦长，———8分

中点， 设，，，

   ，  ———11分

，时，，——14分

（或：

。

当且仅当时成立，，（用其它解法相应给分）

（1）由直线与圆相切，得，即.

由，得，所以，

所以椭圆的方程是.

（2）由条件，知，即动点M到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是.

（3）由（2），知，设，

∴

由，得

∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立。

又

∵，∴当，即时，

故的取值范围是.

（1）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得。

解得，。

所以。

所以椭圆的标准方程是。         ……………4分

（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：

由得。

，化简得。

设，则

，。

若成立，

即，等价于，所以。

，

，

,

化简得，。

将代入中，，

解得，。

又由，，

从而，或。

所以实数的取值范围是。      ……………14分

（1），椭圆 的方程为，                       ………………3分

（2）直线的斜率显然存在，且，

故可设直线的方程为，                 ………………4分

从而                                        ………………5分

由得， ………………7分

设，则， 得，  ………………8分

从而，即，              ………………9分

又，故直线的方程为           ………………10分

由得∴，           ………………11分

故，                                    ………………12分

又∵，  ∴，    ………………13分

当且仅当，即时等号成立，

∴时，线段的长度取得最小值为，         ……………………14分

（1）抛物线的焦点为，它是题设椭圆的左焦点.离心率为，

所以，.由求得.

因此，所求椭圆的方程为  （*）

（2）椭圆的右焦点为，过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为，

①  若，则直线过点且与曲线只有一个交点，此时直线

的方程为；

②  若，因直线过点，故可设其方程为，将其代入

消去，得.因为直线与曲线只有一个交点，所以判别式，于是，从而直线的方程为或.因此，所求的直线的方程为或或.

可求出点的坐标是或或.

①若点的坐标是，则.于是=，从而，代入（*）式联立：

或，求得，此时满足条件的点有4个:

.

②若点的坐标是，则，点M到直线：的距离是，

于是有，从而，

与（*）式联立：或解之，可求出满足条件的点有4个:，，，.

③  若点的坐标是，则，点到直线:的距离是，于是有，从而，

与（*）式联立：或，解之，可求出满足条件的点有4个:  ，,,.

综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求。

（1） 设,，               ------------------------------1分

因为为等边三角形，所以. ------------------------------2分

又点在椭圆上，

所以   消去，           --------------------------------3分

得到 ，解得或，-------------------------------4分

当时，；

当时，.              -----------------------------------5分

{说明：若少一种情况扣2分}

（2）法1：根据题意可知，直线斜率存在。

设直线:，，，中点为，

联立 消去得， ------------------6分

由得到     ①                   --------------------------7分

所以,

，                --------------------------8分

所以，又

如果为等边三角形，则有，              ------------------------9分

所以， 即，          ---------------------------10分

化简，②                             ---------------------------11分

由②得，代入① 得，

化简得  ，不成立，                   -------------------------------13分

{此步化简成或或都给分}

故不能为等边三角形.                     ------------------------------14分

法2：设，则，且，

所以 ，---------------8分

设，同理可得，且     ----------------9分

因为在上单调

所以，有，                  ----------------------------11分

因为不关于轴对称，所以.

所以，                               ----------------------------13分

所以不可能为等边三角形.                  -----------------------------14分

（1）由椭圆可知其半焦距，即焦距，

动三角形的面积的最大值为，故，即动点到轴的距离的最大值为.显然当动点运动到椭圆的上、下顶点时，点到轴的距离的最大，即椭圆的短半轴，于是，从而可知椭圆的方程为.

（2）（i）解法一：设及直线的方程为：，，

因为点，为直线与椭圆的交点，故由消去得如下方程：

，

易知是上述方程的两个相异实根，，又点为线段的中点，故点坐标为：，，

即， ，

从而点到直线：的距离为，

令，则，

即，则，（当且仅当时取等号），即.

解法二：同解法一求出点坐标：，，，

消去参数得点的轨迹方程：，，易知点轨迹为一个椭圆（不含左右两个顶点），不妨记该椭圆为，显然直线：过点，易知直线与椭圆相交，欲使点到直线的距离最大，则椭圆过点的切线必平行于直线，此时直线和的距离亦为.设切线的方程为：，联立及得：，于是，求得，由于直线和平行，故易知此时均有，即.

（ii）解法一: 设，直线、的方程为：，，

故由，又，

，即，

同理可求, 于是可求，,

从而有，即存在，满足题设.

解法二：设直线、、、的方程为：，，，

，由题设可知（），由于上述四条直线两两相交，故互不相等，

因直线、交于点，由，

同理可求：，，

不妨设，（显然非零实数互不相等且均不为1），

于是,，，

又三点均在椭圆上，即有：

①， ②， ③，

对于①，②，可视实数为关于的方程：的两根，

即的两根，从而有；

对于①，③，可视实数为关于的方程：的两根，

即的两根，从而有，

进而有，

（亦可由①-②化简得：，①-③化简得：，于是），

易知，，，

从而，即存在，满足题设.