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1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的方程为.

由题意有:

解得.

故椭圆的方程为.

(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故.

因为,所以

因为当最小时,点恰好落在椭圆的右顶点,即当时,

取得最小值,而
故有,解得,                               
又点在椭圆的长轴上,即,            
故实数的取值范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程
2
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,椭圆 的短轴长为2,点P 为上顶点,圆 将椭圆C的长轴三等分,直线与椭圆C交于A、B两点,PA、PB与圆O

交于M、N两点。

(1)求椭圆C的方程;

(2)求证△APB为直角三角形;

(3)设直线MN的斜率为n,求证:  为定值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
3
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
4
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知双曲线C:的焦距为,其一条渐近线的倾斜角为,且,以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E。

( I )求椭圆E的方程;

(2)设点A是椭圆E的左顶点,P、Q为椭圆E上异于点A的两动点,若直线AP、AQ的斜率之积为,问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
5
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2,且的菱形的四个顶点。

(1)求椭圆的方程;

(2)过右焦点且斜率为)的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由条件知,所以

故所求椭圆方程为.

(2)设过点的直线方程为,设点,点,

将直线方程代入椭圆

整理得:

因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,

.

直线的方程为,直线的方程为

,得点,点,所以点的坐标

直线的斜率为

.

代入上式得,

.

所以为定值.

知识点

椭圆的定义及标准方程
6
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆经过点,离心率为

(1)求椭圆的方程;

(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点,直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意得,解得

所以椭圆的方程是。                   …………… 4分

(2)以线段为直径的圆过轴上的定点.

,则有

又因为点是椭圆的右顶点,所以点

由题意可知直线的方程为,故点

直线的方程为,故点

若以线段为直径的圆过轴上的定点,则等价于恒成立。

又因为

所以恒成立。

又因为

所以

解得

故以线段为直径的圆过轴上的定点。    …………… 14分

知识点

椭圆的定义及标准方程
7
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的右焦点为,短轴的一个端点的距离等于焦距。

(1)求椭圆的方程;

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,是否存在直线,使得△与△的面积比值为?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由已知得                               ------------------3分

,所以椭圆的方程为          ------------------4分

(2)等价于                               ------------------2分

当直线斜率不存在时,,不符合题意,舍去;      ------------------3分

当直线斜率存在时,设直线的方程为

并整理得   ------------------5分

,则

 ①,②                   ------------------7分

由①②③解得,因此存在直线使得

的面积比值为                                   ------------------9分

知识点

椭圆的定义及标准方程
8
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.

正确答案

见解析

解析

知识点

向量在几何中的应用等差数列的性质及应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
9
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且在轴上方,

(1)求椭圆C的方程;

(2)抛物线过点,连结并延长与抛物线交于点是抛物线上一动点(且之间运动),求面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

余弦定理椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
10
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为

求证: 为定值。

正确答案

见解析

解析

(1)由条件可知,                                  …………2分

故所求椭圆方程为,                              …………4分

(2)设过点的直线方程为:,                  …………5分

可得:        …………6分

因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,即恒成立。

设点,则

,                     …………8分

因为直线的方程为:

直线的方程为:,                  ………9分

,可得

所以点的坐标,                     ………10分

直线的斜率为

          …………12分

所以为定值,                                 …………13分

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
下一知识点 : 椭圆的几何性质
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