- 椭圆的定义及标准方程
- 共573题
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的方程为.
由题意有:,
解得.
故椭圆的方程为.
(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故.
因为,所以
因为当最小时,点恰好落在椭圆的右顶点,即当时,
取得最小值,而,
故有,解得,
又点在椭圆的长轴上,即,
故实数的取值范围是,
知识点
如图,椭圆 的短轴长为2,点P 为上顶点,圆 将椭圆C的长轴三等分,直线与椭圆C交于A、B两点,PA、PB与圆O
交于M、N两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证△APB为直角三角形;
(3)设直线MN的斜率为n,求证: 为定值。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知双曲线C:的焦距为,其一条渐近线的倾斜角为,且,以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E。
( I )求椭圆E的方程;
(2)设点A是椭圆E的左顶点,P、Q为椭圆E上异于点A的两动点,若直线AP、AQ的斜率之积为,问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2,且为的菱形的四个顶点。
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点,且斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线,分别交直线于点,,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由条件知,所以
故所求椭圆方程为.
(2)设过点的直线方程为,设点,点,
将直线方程代入椭圆: ,
整理得:,
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,
且.
直线的方程为,直线的方程为,
令,得点,点,所以点的坐标
直线的斜率为
.
将代入上式得,
.
所以为定值.
知识点
已知椭圆经过点,离心率为。
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点,直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意得,解得,。
所以椭圆的方程是。 …………… 4分
(2)以线段为直径的圆过轴上的定点.
由得。
设,则有,。
又因为点是椭圆的右顶点,所以点。
由题意可知直线的方程为,故点。
直线的方程为,故点。
若以线段为直径的圆过轴上的定点,则等价于恒成立。
又因为,,
所以恒成立。
又因为
,
,
所以。
解得。
故以线段为直径的圆过轴上的定点。 …………… 14分
知识点
已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点到的距离等于焦距。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,,是否存在直线,使得△与△的面积比值为?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知得, ------------------3分
,所以椭圆的方程为 ------------------4分
(2)等价于 ------------------2分
当直线斜率不存在时,,不符合题意,舍去; ------------------3分
当直线斜率存在时,设直线的方程为,
由消并整理得 ------------------5分
设,,则
①,② ------------------7分
由得③
由①②③解得,因此存在直线:使得与
的面积比值为 ------------------9分
知识点
已知椭圆过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线轴正半轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.
正确答案
见解析
解析
知识点
设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且在轴上方,。
(1)求椭圆C的方程;
(2)抛物线过点,连结并延长与抛物线交于点,是抛物线上一动点(且在与之间运动),求面积的最大值。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,。
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为。
求证: 为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)由条件可知, …………2分
故所求椭圆方程为, …………4分
(2)设过点的直线方程为:, …………5分
由可得: …………6分
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,即恒成立。
设点,则
, …………8分
因为直线的方程为:,
直线的方程为:, ………9分
令,可得,,
所以点的坐标, ………10分
直线的斜率为
…………12分
所以为定值, …………13分
知识点
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