- 椭圆的定义及标准方程
- 共573题
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的方程为
.
由题意有:,
解得.
故椭圆的方程为
.
(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为
,故
.
因为,所以
因为当最小时,点
恰好落在椭圆的右顶点,即当
时,
取得最小值,而
,
故有,解得
,
又点在椭圆的长轴上,即
,
故实数的取值范围是
,
知识点
如图,椭圆 的短轴长为2,点P 为上顶点,圆
将椭圆C的长轴三等分,直线
与椭圆C交于A、B两点,PA、PB与圆O
交于M、N两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证△APB为直角三角形;
(3)设直线MN的斜率为n,求证: 为定值。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆C的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足
,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知双曲线C:的焦距为
,其一条渐近线的倾斜角为
,且
,以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E。
( I )求椭圆E的方程;
(2)设点A是椭圆E的左顶点,P、Q为椭圆E上异于点A的两动点,若直线AP、AQ的斜率之积为,问直线PQ是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2,且
为
的菱形的四个顶点。
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点,且斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,A为椭圆的右顶点,直线
,
分别交直线
于点
,
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
.求证:
为定值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由条件知,所以
故所求椭圆方程为.
(2)设过点的直线
方程为
,设点
,点
,
将直线方程
代入椭圆
:
,
整理得:,
因为点在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,
恒成立,
且.
直线的方程为
,直线
的方程为
,
令,得点
,点
,所以点
的坐标
直线的斜率为
.
将代入上式得,
.
所以为定值
.
知识点
已知椭圆经过点
,离心率为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
交于
两点,点
是椭圆
的右顶点,直线
与直线
分别与
轴交于点
,试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意得,解得
,
。
所以椭圆的方程是
。 …………… 4分
(2)以线段为直径的圆过
轴上的定点.
由得
。
设,则有
,
。
又因为点是椭圆
的右顶点,所以点
。
由题意可知直线的方程为
,故点
。
直线的方程为
,故点
。
若以线段为直径的圆过
轴上的定点
,则等价于
恒成立。
又因为,
,
所以恒成立。
又因为
,
,
所以。
解得。
故以线段为直径的圆过
轴上的定点
。 …………… 14分
知识点
已知椭圆:
的右焦点为
,短轴的一个端点
到
的距离等于焦距。
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,是否存在直线
,使得△
与△
的面积比值为
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知得,
------------------3分
,所以椭圆
的方程为
------------------4分
(2)等价于
------------------2分
当直线斜率不存在时,
,不符合题意,舍去; ------------------3分
当直线斜率存在时,设直线
的方程为
,
由消
并整理得
------------------5分
设,
,则
①,
② ------------------7分
由得
③
由①②③解得,因此存在直线
:
使得
与
的面积比值为
------------------9分
知识点
已知椭圆过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线
轴正半轴和y轴分别交于Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试证明:直线
过定点并求此定点.
正确答案
见解析
解析
知识点
设椭圆的左、右焦点分别为
,点
在椭圆上且在
轴上方,
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)抛物线过点
,连结
并延长与抛物线
交于点
,
是抛物线
上一动点(且
在
与
之间运动),求
面积的最大值。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆的左右焦点分别为
,点
为短轴的一个端点,
。
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
。
求证: 为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)由条件可知, …………2分
故所求椭圆方程为, …………4分
(2)设过点的直线
方程为:
, …………5分
由可得:
…………6分
因为点在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,即
恒成立。
设点,则
, …………8分
因为直线的方程为:
,
直线的方程为:
, ………9分
令,可得
,
,
所以点的坐标
, ………10分
直线的斜率为
…………12分
所以为定值
, …………13分
知识点
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