椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线（）与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值。

正确答案

（1）椭圆的方程为

（2）

解析

（1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，

，，———2分

椭圆的方程为———4分

（2），消去得

直线与椭圆有两个交点，，可得（*）———6分

设，

，，弦长，———8分

中点，设，，，

， ———11分

，时，，——14分

（或：

。

当且仅当时成立，，（用其它解法相应给分）

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆与双曲线有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线，设直线交抛物线于P、Q两点，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点R(m，n)，使得直线与圆相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于,两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的方程为，半焦距为.

依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得。

解得，。

所以。

所以椭圆的标准方程是。 ……………4分

（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：

由得。

，化简得。

设，则

，。

若成立，

即，等价于，所以。

，

化简得，。

将代入中，，

解得，。

又由，，

从而，或。

所以实数的取值范围是。 ……………14分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段的长度的最小值。

正确答案

（1）椭圆的方程为

（2）线段的长度取得最小值为

解析

（1），椭圆的方程为， ………………3分

（2）直线的斜率显然存在，且，

故可设直线的方程为， ………………4分

从而 ………………5分

由得， ………………7分

设，则，得， ………………8分

从而，即， ………………9分

又，故直线的方程为 ………………10分

由得∴， ………………11分

故， ………………12分

又∵， ∴， ………………13分

当且仅当，即时等号成立，

∴时，线段的长度取得最小值为， ……………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为，设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为焦距为，所以，因为椭圆过点（，），

所以，故，… 2分

所以椭圆的方程为 …………4分（2）由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、，得。……… 5分

当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()，，

由得，则，

故。 ………………………………………… 6分

此时，直线斜率为，的直线方程为。

即。

联立消去，整理得。

设，

所以，。 ……………………………9分

于是

。…… 11分

由于在椭圆的内部，故

令，，则。 …………… 12分

又，所以。

综上，的取值范围为。 …………………… 13分

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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