椭圆的定义及标准方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.

24.求直线与的斜率之积；

25.设，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点.则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线与的斜率之积为；

解析

.设点. 则有，即

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，同时也考查考生推理运算求解能力、等价转化思想，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：由椭圆的方程，可得到A ，B两点的坐标，设出点P(x，y)，即可表示出直线与的斜率，将其代入椭圆方程，化简即可得出结论；

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在，满足题意.

解析

【解析】令，.与轴不重合，∴设.

由得[来源:Zxxk.Com]

由题意,得.即

将（*）式代入上式,得

即

展开，得

整理，得.解得或（舍去）.

经检验，能使成立.故存在，满足题意.

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，同时也考查考生推理运算求解能力、等价转化思想，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：要满足以为直径的圆恒过点，只需满足即可.由于直线过点，由题可设出直线l的方程，即代入到椭圆方程消去x，即可得到关于y的一元二次方程，再利用根与系数之间的关系，化简,，最后得0，即可证明结论。

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时易发生错误。

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知椭圆的焦点分别为.

25.求以线段为直径的圆的方程；

26.过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

;

解析

试题分析：本题是直线与圆锥曲线综合应用问题，解题时利用椭圆定义完成第一问。再由“”转换成“”，再利用韦达定理去完成。

（I）因为，，所以.

所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分

考查方向

本题考查椭圆、圆的标准方程和几何性质、直线方程与圆锥曲线综合应用等基础知识和方法，考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想应用，意在考查运算能力和分析推理能力，较难。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，解题步骤如下：根据题意直接写出以线段为直径的圆的方程即可。本题第二问由“”转换成“”再利用韦达定理去研究，得到结论。

易错点

本题第二问在“”的理解和转换成“”上极易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

。

解析

试题分析：本题是直线与圆锥曲线综合应用问题，解题时利用椭圆定义完成第一问。再由“”转换成“”，再利用韦达定理去完成。

则直线和的斜率存在,分别设为,.

等价于.

依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.

由，得.

因为直线与椭圆有两个交点，所以.

即，解得.

设，,则，，

，.

令，

,

当时，，

所以，

化简得，，

所以.

当时，也成立.

所以存在点，使得.……………………………14分

考查方向

本题考查椭圆、圆的标准方程和几何性质、直线方程与圆锥曲线综合应用等基础知识和方法，考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想应用，意在考查运算能力和分析推理能力，较难。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线综合应用问题，解题步骤如下：根据题意直接写出以线段为直径的圆的方程即可。本题第二问由“”转换成“”再利用韦达定理去研究，得到结论。

易错点

本题第二问在“”的理解和转换成“”上极易出错。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过.

22.求椭圆E的方程；

23.设经过点的直线交椭圆异于A、B的两点M,N，试证明直线AM与BN的交点在一条定直线上，并求出该直线的方程．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，（1）待定系数法解；（2）用设而不求的方法来解答。

（I）设椭圆E:,将A,B,C代入得

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）待定系数法解；（2）用设而不求的方法来解答。

易错点

计算量大，计算不出来。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）x=4

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，（1）待定系数法解；（2）用设而不求的方法来解答。

（II）将直线代入椭圆方程得，设

，则，

直线AM的方程为，即，

直线BN的方程为，即，

联立得

或

，所以直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）待定系数法解；（2）用设而不求的方法来解答。

易错点

计算量大，计算不出来。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知椭圆的上顶点为，且离心率为．

21.求椭圆的方程；

22.从椭圆上一点向圆引两条切线，切点为，当直线分别与轴，轴交于两点时，求的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，（1）根据已经条件构造方程组；（2）先将表示出来再利用不等式解出其最值。

（1），所以椭圆的方程为；

……4分

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）根据已经条件构造方程组；（2）先将表示出来再利用不等式解出其最值。

易错点

计算不出来。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系，题目的难度是逐渐由易到难，（1）根据已经条件构造方程组；（2）先将表示出来再利用不等式解出其最值。

（2）设点的坐标分别为，过点的圆的切线方程为

，过点的圆的切线方程为，两条切线都过点，所以

，，则切点弦的方程为，……7分，由题意知，所以，

，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．……12分

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）根据已经条件构造方程组；（2）先将表示出来再利用不等式解出其最值。

易错点

计算不出来。

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

11.已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

B

知识点

椭圆的定义及标准方程

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

知识点