椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2，且为的菱形的四个顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点，且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由条件知，所以

故所求椭圆方程为.

（2）设过点的直线方程为，设点，点,

将直线方程代入椭圆：，

整理得：，

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且.

直线的方程为，直线的方程为，

令，得点，点，所以点的坐标

直线的斜率为

将代入上式得，

所以为定值.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由已知得， ------------------3分

，所以椭圆的方程为 ------------------4分

（2）等价于 ------------------2分

当直线斜率不存在时，，不符合题意，舍去； ------------------3分

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由消并整理得 ------------------5分

设，，则

①，② ------------------7分

由得③

由①②③解得，因此存在直线：使得与

的面积比值为 ------------------9分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，。

（1）求椭圆C的方程；

（2）抛物线过点，连结并延长与抛物线交于点，是抛物线上一动点（且在与之间运动），求面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

余弦定理椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，。

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为。

求证: 为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）由条件可知， …………2分

故所求椭圆方程为， …………4分

（2）设过点的直线方程为：， …………5分

由可得： …………6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立。

设点，则

， …………8分

因为直线的方程为：，

直线的方程为：， ………9分

令，可得，，

所以点的坐标， ………10分

直线的斜率为

…………12分

所以为定值， …………13分

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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