椭圆的定义及标准方程
共573题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知直角,以为左焦点，

为右顶点的椭圆经过点,则椭圆的离心率为（）

正确答案

解析

（法一）

如图，不妨设直线为该椭圆的左准线，AF交于E,过P作的垂线PH，（垂足为H），过P作的垂线PD，（垂足为D），由椭圆的第二定义可得：

由题意可得方程组：

故有：解之得：故选D

（法二）

如图，设则

由椭圆的第二定义有

得：得：所以：

（法三）

如图, 为椭圆的右焦点，设

在中，

由椭圆的性质可得：

解之得：故

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20。如图，AB是过椭圆的左焦点F的一条动弦，AB的斜率的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

解法1

由椭圆方程为

设AB的倾斜角为，

则，

由于A、B两点在椭圆上，

∴ ①

②

②①得

③

将③代入①得

解得

解法2

即椭圆的离心率

设椭圆对应于F的准线为

解法3

如图，设为椭圆的另一焦点，AB的倾斜

角为中，由余弦定理及椭圆的定义有

同理，在中可得

以下与解法2相同

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点。

（1）求这个椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分

则，。 …………………………………………2分

所以　， …………………………………3分

所以　椭圆方程为。 …………………………………………4分

（2）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为，因为，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直。 …………………………………………6分

于是，设直线的方程为，点，， …7分

则整理得， … 8分

， ………………………………………… 9分

所以　。 ……………………………………… 10分

因为四边形为平行四边形，

所以， ……………………………………… 11分

所以点的坐标为， ……………………………12分

所以， ……………………………13分

解得，

所以，　　　　　　　　　　　　………………………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为。

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，，所以，因为所以，所以，

所以椭圆的方程为，

（2）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.

又，两点在椭圆上，所以，，所以点到直线的距离，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为。

由消去得，由已知。

设，，所以，。

因为，所以，所以。

即，所以，整理得，满足，

所以点到直线的距离为定值。

知识点

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