热门试卷

（1）因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为             …………………4分

（2）设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为，

所以，当且仅当时，取得最大值为  ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以，代入得到

当,             即

方程有两个不同的解

又，           …………………9分

所以，又，化简得到    

代入，得到              …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到         …………………12分

因为，所以当时，即时，取得最大值

综上，面积的最大值为                   …………………14分

（1）依题意不妨设，，则，.

由，得.又因为，

解得.

所以椭圆的方程为.  ……………4分

（2）依题直线的方程为.

由得.

设，，则，.   …………6分

所以弦的中点为.  ……………7分

所以

.     ……………9分

直线的方程为，

由，得，则，

所以.   …………11分

所以.……………12分

又因为，所以.

所以.

所以的取值范围是. ……………………14分

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意:    解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵，  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：.  ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .     ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上，      ∴.

∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.

（1）设椭圆的方程为，

依题意得解得，.

所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分

（2）显然点.

（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以.    …………………………………………6分

（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意。

由得.

设,则.

直线，的方程分别为：，

令，则.

所以，.  ……………………10分

所以

.  ……………………………………………12分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分