椭圆的定义及标准方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为 …………………4分

（2）设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为，

所以，当且仅当时，取得最大值为 ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以，代入得到

当, 即

方程有两个不同的解

又， …………………9分

所以，又，化简得到

代入，得到 …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到 …………………12分

因为，所以当时，即时，取得最大值

综上，面积的最大值为 …………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.

直线交椭圆于两不同的点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线不过点,求证：直线与轴围成等腰三角形.

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆：的离心率为，且过点，直线交椭圆于,（不与点重合）两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），，

，，

， ------------------3分

（2）设，，

由

① ②----------------------5分

， --------------------8分

设为点到直线BD：的距离，

--------------------10分

----------------------13分

当且仅当时等号成立

∴当时，的面积最大，最大值为----------------14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为，且

.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）依题意不妨设，，则，.

由，得.又因为，

解得.

所以椭圆的方程为. ……………4分

（2）依题直线的方程为.

由得.

设，，则，. …………6分

所以弦的中点为. ……………7分

所以

. ……………9分

直线的方程为，

由，得，则，

所以. …………11分

所以.……………12分

又因为，所以.

所以.

所以的取值范围是. ……………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意: 解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵， ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：. ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得，

则，代入 ① 得，即点的轨迹方程为.

若，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上, ∴. ①

同理， . ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上， ∴.

∴点的轨迹方程为.

若，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）

A

B

C2

D4

正确答案

A

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为，

则，由得，

由解得,则椭圆方程为. ----------（6分）

（2）由得

设由韦达定理得：

=

==，----------------（10分）

当，即时，为定值，所以，存在点

使得为定值

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）设椭圆的方程为，

依题意得解得，.

所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分

（2）显然点.

（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分

（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意。

由得.

设,则.

直线，的方程分别为：，

令，则.

所以，. ……………………10分

所以

. ……………………………………………12分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的短轴的端点分别为，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且。

（1）求椭圆的离心率；

（2）用表示点的坐标；

（3）若面积是面积的倍，求的值，

正确答案

（1）

（2）；

（3）

解析

（1）解：依题意知，，; ……………………… 3分

（2）解：，，且，………………………4分

直线的斜率为，直线斜率为，

直线的方程为，直线的方程为，……………6分

由得，

………………………8分

由得，

； ………………………10分

（3）解：，，，

，，， ………………，，12分

，

整理方程得，即，

又，，，为所求，………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6。

（1）求椭圆的方程;

（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且三点共线，求的最大值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知得且，解得，

又，所以椭圆的方程为，………………3分

（2）设。

当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合，

显然三点不共线，不符合题设条件。

故可设直线的方程为。

由消去整理得，……………①

则，

所以点的坐标为。

因为三点共线，所以，因为，所以，

此时方程①为，则，

所以，

又，

所以，

故当时，的最大值为，…………………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

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