椭圆的定义及标准方程
共573题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.

直线交椭圆于两不同的点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线不过点,求证：直线与轴围成等腰三角形.

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆：的离心率为，且过点，直线交椭圆于,（不与点重合）两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），，

，，

， ------------------3分

（2）设，，

由

① ②----------------------5分

， --------------------8分

设为点到直线BD：的距离，

--------------------10分

----------------------13分

当且仅当时等号成立

∴当时，的面积最大，最大值为----------------14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为，

则，由得，

由解得,则椭圆方程为. ----------（6分）

（2）由得

设由韦达定理得：

==，----------------（10分）

当，即时，为定值，所以，存在点

使得为定值

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6。

（1）求椭圆的方程;

（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且三点共线，求的最大值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知得且，解得，

又，所以椭圆的方程为，………………3分

（2）设。

当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合，

显然三点不共线，不符合题设条件。

故可设直线的方程为。

由消去整理得，……………①

则，

所以点的坐标为。

因为三点共线，所以，因为，所以，

此时方程①为，则，

所以，

又，

所以，

故当时，的最大值为，…………………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

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