三角函数与三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

在中，，，，则

A或

B

C

D

正确答案

C

解析

由正弦定理，又，，∴，则为锐角，故.

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若等边的边长为2，平面内一点M满足，则（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

∵等边的边长为2，，

∴，

∴

.

故选D.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：

（1）求获得参赛资格的人数；

（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）获得参赛资格的人数 2分

（2）平均成绩：

5分

（3）设甲答对每一道题的概率为.P

则

的分布列为

12分

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在中，角所对的边为，且满足

（1）求角的值；

（2）若且，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

故

----------8分

因为，所以，，----------10分

所以。 ----------12分

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图甲，在等腰中，分别是，，边的中点，，现将沿翻折成直二面角，如图乙。

（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

（1）如图，在中，由于点、分别是，的中点，

∴，又平面，平面，∴平面，（4分）

（2）由题意易知、、两两互相垂直，以点为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，则，

则，，，，，，（5分）

取平面的一个法向量为。

设平面的一个法向量为，

又，

则即令，得

∴，（6分）

∴，（7分）

即二面角的余弦值为，（8分）

（3）假设在线段上存在一点，使。

不妨设，由,，(9分)

由（2）得，。

∵，∴，即，解得，（11分）

∵，∴在线段上不存在一点，使，（12分）

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中假命题是（）

A若，∥，则

B若∥，，则

C若∥，，则

D若∥，∥，，则

正确答案

C

解析

对选项A，B，C，是真命题，对选项C,会出现三种情况，① ；②∥；

③与相交，故选C.

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知，则的值为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由得，，

所以。

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

设, .

（1）当时,求曲线在处的切线的方程;

（2）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;

（3）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）当时,,,,,

所以曲线在处的切线方程为; 2分

（2）存在,使得成立等价于:,

考察, ,

由上表可知:,

,

所以满足条件的最大整数; 7分

（3）当时,恒成立等价于恒成立,

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为

A直角三角形

B钝角三角形

C等边三角形

D等腰三角形但不是等边三角形

正确答案

C

解析

由题意知，

∴，∴，

又、不共线，∴，∴

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图,在三棱锥中, ，点为以为直径的圆上任意一动点, 且,点是的中点,且交于点.

（1）求证:

（2）当时，求二面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

解析:（1）证明: ,,又易知

……………………2分

又,是的中点, ,

， ……………………4分

又已知,

平面. ………………6分

（2）解法一:如图,以为坐标原点,AB为x轴，AS为z轴,建立空间直角坐标系,

由于,

可设,则

………………8分

设平面的一个法向量

则即

可得 ………………10分

由（1）可知

易求

二面角的余弦值是 . …………12分

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设点在内部及其边界上运动，并且，则的最小值为

A

B

C1

D2

正确答案

B

解析

结合图像得B

另解：特殊化法：分别取A（0，0）、B（1，0）、C（0，1）易得到距离最小为，再求其平方得.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设是平面上的两个向量，若向量与互相垂直。

（1）求实数的值；

（2）若，且，求的值。

正确答案

（1）λ=2（2）

解析

（1）由题设可得即

代入坐标可得.

………………6分

（2）由（1）知，

.

………………12分

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若=，则的值为

A121

B122

C124

D120

正确答案

B

解析

解析：方法一：直接计算

方法二：令

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若＝2，则sin 2α＝

正确答案

解析

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且。

（1）求角A；

（2）若m，n，试求|mn|的最小值。

正确答案

（1）（2）

解析

（1），

即，

∴，∴。

∵，∴，…………………………………………………（6分）

（2）mn ，

|mn|。

∵，∴，∴，且。

从而。

∴当＝1，即时，|mn|取得最小值………………（12分）

知识点

任意角的概念

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