三角函数与三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

计算：=________。

正确答案

解析

由定积分的定义得

。

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数的反函数图像大致是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

原函数的图象是由图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点，求的最大值。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）解法1：由抛物线方程，得焦点，………1分

故 ①

又椭圆经过点，∴ ②

由①②消去并整理，得，，解得，或（舍去），

从而。故椭圆的方程为。 ……………4分

解法2：由抛物线方程，得焦点，

故椭圆的方程为。 ……………4分

（2）

,

所以，

……………8分

由得

显然，该方程有两个不等的实数根，设，.

,

由抛物线的定义，得 ……………10分

综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值 . ……………………………12分

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在城的西南方向上有一个观测站,在城的南偏东的方向上有一条笔直的公路,一辆汽车正沿着该公路上向城驶来.某一刻,在观测站处观测到汽车与处相距,在分钟后观测到汽车与处相距.若汽车速度为,求该汽车还需多长时间才能到达城?

正确答案

见解析

解析

如图,由题意知,.

则,从而.

故.

在△中,由正弦定理可得,

带入已知数据可求得,故.

所以,汽车要到达城还需要的时间为(分)。

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_____________。

正确答案

解析

由二项式定理知: 的展开式中的系数为的展开式中的系数为,于是有,解得

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在直角坐标系x Oy中，直线过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方，若直线的倾斜角为60°则△OAF的面积为。

正确答案

解析

由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此。

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知的最小正周期为.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）在，若,且,求的值。

正确答案

见解析

解析

∵

，

由得，∴.

（1）由得，

∴当时，

（2）由及，得，

而, 所以，解得.

在中，∵,，

∴，

∴，解得.

∵，∴.

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在直三棱柱中，，直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

法一：，

平面，

是直线与平面所成的角

设

，

所以，…12分

法二：如图，建立空间直角坐标系，设。得点，

，。则，

平面的法向量为。

设直线与平面所成的角为，

则，

所以，

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在三角形ABC中，若角A、B、C所对的三边a、b、c成等差数列，则下列结论中正确的是____________。

①b2≥ac；

②；

③；

④；

正确答案

①③④

解析

由a、b、c成等差数列，则，故①正确；

∴，∴②不正确；

∴，∴③正确；

由正弦定理得：

又由余弦定理得：

，∴，∴，

∴成立，故①③④正确。

知识点

任意角的概念

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )

A外心

B垂心

C内心

D重心

正确答案

D

解析

(其中D为BC的中点),于是有,从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB = 7, C是圆上一点使得BC = 5，，则AB =____________

正确答案

解析

∵，，∴∠CAB=∠APB，

∴，∴，∴。

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，。

（1）求证：BE//平面ADF；

（2）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为450？

正确答案

见解析

解析

解（1）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM。

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形，可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF，

法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系，则平面ADF的一个法向量为。

设AB = a，BC = b，CE = c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量，可知，得，而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF。

（2）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且。

由可得FD = 4，从而得CE =1.

设BC = a，则点B的坐标为（a，，0），

又点E、F的坐标分别为（0，，1）和（0，0，4），所以，。

设平面BEF的一个法向量为，则，解得一组解为，所以，

易知平面DEF的一个法向量为，可得

由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得。

所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为450.

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于____________.

正确答案

283

解析

由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.

知识点

任意角的概念

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知的三个内角所对的边分别为，若△的面积，

则的值是。

正确答案

4

解析

得得。

知识点

任意角的概念

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知ai＞0（i=1，2，…，n），考查

①；

②；

③。

归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明。

正确答案

见解析。

解析

结论：（a1+a2+…+an）（++…+）≥n2…（4分）

证明：①当n=1时，显然成立；…………………………（6分）

②假设当n=k时，不等式成立，

即：（a1+a2+…+ak）（++…+）≥k2………………………………… （9分）

那么，当n=k+1时，

（a1+a2+…+ak+ak+1）（++…++）

=（a1+a2+…+ak）（++…+）+ak+1（++…+）+（a1+a2+…+ak）+1

≥k2+（+）+（+）+…+（+）+1

≥k2+2k+1

=（k+1）2

即n=k+1时，不等式也成立，…（12分）

由①②知，不等式对任意正整数n成立，…（13分）

知识点

任意角的概念

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正确答案

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